Limite en un point réel

Énoncé

Calculer les limites suivantes : a) _{x 3} (x^2 - 2x + 1) b) _{x 2} x^2 - 4{x - 2}

Indice : Pour la question b), factorise le numérateur en reconnaissant une identité remarquable.

Correction

1. Étape 1 : Deux limites en un point réel, et deux situations très différentes. Limite en un point : le réflexe : 1. remplacer x par la valeur ; 2. si l'on obtient un nombre, c'est fini — la fonction est continue là ; 3. si l'on obtient 0{0}, c'est indéterminé : il faut factoriser et simplifier. 👉 La forme 0{0} signale presque toujours un facteur commun caché entre numérateur et dénominateur. Le trouver et le simplifier lève l'indétermination. ⚠️ Et ce facteur est toujours (x - a) quand on calcule la limite en a : si le numérateur s'annule en a, il est divisible par x - a.
2. Étape 2 : a) x^2 - 2x + 1 est un polynôme, donc continu sur R. On remplace directement : [formule] ℹ️ C'est ce que « continue » signifie : la limite en un point est la valeur en ce point. Tous les polynômes, et toutes les fonctions usuelles sur leur domaine, ont cette propriété — c'est ce qui rend la plupart des limites triviales.

   _{x 3}(x^2-2x+1) = 4

3. Étape 3 : b) x^2-4{x-2} en x = 2 : le remplacement donne 0{0}, indéterminé. On cherche le facteur commun. Le numérateur est une identité remarquable : x^2 - 4 = x^2 - 2^2 = (x-2)(x+2) [formule] ⚠️ La mention « pour x 2 » est indispensable : la simplification n'est licite que si le facteur qu'on retire n'est pas nul. En x = 2, les deux expressions ne sont pas égales — la première n'existe pas. [formule]

   _{x 2}x^2-4{x-2} = 4

4. Étape 4 : 👉 Ce que cela signifie graphiquement. La courbe de x^2-4{x-2} est la droite y = x+2, avec un trou au point (2\,;4) — la fonction n'y est pas définie, mais elle s'en approche des deux côtés. C'est ce qu'on appelle une discontinuité artificielle : elle disparaît si l'on décide de poser f(2) = 4. Ce sera exactement l'objet de l'exercice 29007. L'erreur classique : Écrire 0{0} = 1 ou 0{0} = 0. 0{0} n'est pas un nombre : c'est une forme indéterminée, dont la valeur dépend entièrement de la façon dont numérateur et dénominateur s'annulent. Ici elle vaut 4 ; avec x^2-4{x-2} remplacé par (x-2)^2{x-2}, elle vaudrait 0. 👉 Devant 0{0} : factoriser, toujours. À retenir : Remplacer d'abord. Si l'on obtient 0{0}, factoriser par (x-a). 👉 Et écrire « pour x a » après une simplification : c'est ce qui rend le calcul licite.