Limite d'une fonction rationnelle en l'infini

Énoncé

Calculer la limite suivante : [formule]

Indice : Factorise par x au numérateur et au dénominateur, puis simplifie.

Correction

1. Étape 1 : Une forme indéterminée {}, levée par le geste standard. Quotient de polynômes : Factoriser haut et bas par la plus haute puissance de x, puis simplifier. Tous les termes en 1{x^k} tendent alors vers 0. 👉 Contrôle par les degrés, à faire de tête avant tout calcul : degrés égaux rapport des coefficients dominants ; degré du bas plus fort 0 ; degré du haut plus fort . Ici les deux degrés valent 1 : la limite sera 2{1} = 2.
2. Étape 2 : 2x+3{x-1} : numérateur et dénominateur tendent vers +. [formule] On factorise par x : [formule] ⚠️ Vérification de la factorisation : x 2 + x 3{x} = 2x + 3 ✓

   2+{3{x}}{1-1{x}}

3. Étape 3 : Les deux termes en 1{x} tendent vers 0 : [formule] Contrôle numérique, qui confirme : f(10) = 23{9} 2{,}56 · f(100) = 203{99} 2{,}05 · f(1000) 2{,}005 👉 La convergence vers 2 est nette, et par au-dessus — car f(x) - 2 = 5{x-1}, qui est positif pour x > 1.

   = 2

4. Étape 4 : L'erreur classique : Conclure « {} = 1 ». Une forme indéterminée n'a pas de valeur par défaut : c'est précisément ce que « indéterminée » signifie. Le rapport des dominants peut valoir n'importe quoi — ici 2, ailleurs 0 ou l'infini. 👉 Nommer la forme avant de calculer interdit ce raccourci. À retenir : Factoriser par la plus haute puissance, des deux côtés. 👉 Et le contrôle par les degrés donne la réponse de tête, avant tout calcul.