Calculer des limites simples en l'infini

Énoncé

Calculer les limites suivantes : a) _{x +} 1{x} b) _{x +} x^2 c) _{x -} 1{x}

Indice : Utilise les limites de référence : _{x +} 1{x} = 0 et _{x +} x^2 = +.

Correction

1. Étape 1 : Trois limites de référence, qu'il faut connaître sans les recalculer. Limites de référence en l'infini : [formule] 👉 L'idée derrière 1{x} 0 : diviser 1 par un nombre de plus en plus grand donne un résultat de plus en plus petit. 1{1000} = 0{,}001, 1{10^6} = 0{,}000001… ⚠️ Et la limite est 0 des deux côtés, mais pas de la même façon : par valeurs positives en +, par valeurs négatives en -. Cette nuance décidera de la position d'une courbe par rapport à son asymptote.
2. Étape 2 : a) Quand x grandit, 1{x} rapetisse : [formule] b) Quand x grandit, son carré grandit encore plus vite : [formule] c) Quand x -, 1{x} est négatif et de plus en plus proche de 0 : [formule]

   0 \ ; + \ ; 0

3. Étape 3 : 👉 La nuance de c) compte, et l'on note parfois 0^- pour la souligner : | x | -10 | -100 | -10^6 | |:---|---:|---:|---:| | 1{x} | -0{,}1 | -0{,}01 | -10^{-6} | La suite s'approche de 0 par en dessous, sans jamais l'atteindre. ℹ️ À quoi cela sert : si f(x) - 0^-, la courbe est sous son asymptote ; si 0^+, elle est au-dessus. C'est exactement le raisonnement des exercices 29004 et 29013. ⚠️ Et x^2 + des deux côtés, car le carré efface le signe. C'est ce qui distingue x^2 de x, qui tend vers - en -.

   1{x} 0^- en -

4. Étape 4 : L'erreur classique : Écrire _{x -} 1{x} = -0, ou pire, -. -0 n'existe pas : c'est 0. On peut noter 0^- pour indiquer le côté d'approche, mais la limite est bien 0. Et ce n'est pas - : c'est le dénominateur qui explose, donc le quotient s'écrase. 👉 Le contrôle chiffré : 1{-1000} = -0{,}001, un nombre proche de zéro, pas grand. À retenir : 1{x} 0 aux deux infinis, x^2 + aux deux infinis. 👉 Et le côté d'approche (0^+ ou 0^-) donnera la position de la courbe par rapport à ses asymptotes.