Simuler pour estimer : la punaise et la loi des grands nombres

Énoncé

On lance une punaise : elle tombe soit « pointe en haut », soit « pointe en bas ». Une classe a lancé un grand nombre de punaises identiques et compté les « pointe en haut » : | nombre de lancers | 50 | 500 | 5 000 | |:---|:---:|:---:|:---:| | « pointe en haut » | 31 | 293 | 2 969 | a) Calculer la fréquence de « pointe en haut » pour chaque série. b) Peut-on affirmer, comme pour une pièce, que la probabilité de « pointe en haut » vaut 1/2 ? c) Quelle valeur de la probabilité p de « pointe en haut » est-il raisonnable de retenir pour modéliser ce lancer ? Justifier. d) Avec ce modèle, on lance deux punaises de façon indépendante. Calculer la probabilité qu'elles tombent toutes les deux « pointe en haut », puis qu'au moins l'une d'elles tombe « pointe en haut ».

Indice : La fréquence est le nombre de « pointe en haut » divisé par le nombre de lancers. Sur un grand nombre de lancers, la fréquence est proche de la probabilité : c'est la plus longue série qui est la plus fiable.

Correction

1. Étape 1 : Pour une pièce ou un dé, la symétrie permet de supposer les issues équiprobables. Une punaise n'est pas symétrique : aucun raisonnement ne donne la probabilité. On l'estime par l'expérience. Loi des grands nombres (version vulgarisée) : Quand on répète une expérience un grand nombre de fois, de façon indépendante, la fréquence d'un événement est, sauf exception, proche de sa probabilité — et d'autant plus que le nombre de répétitions est grand. 👉 La probabilité retenue est un choix de modèle, appuyé sur les observations : on ne la démontre pas.
2. Étape 2 : a) Les fréquences : | nombre de lancers | 50 | 500 | 5 000 | |:---|:---:|:---:|:---:| | fréquence | 31/50 = 0,62 | 293/500 = 0,586 | (2 969)/(5 000) = 0,5938 | On observe que la fréquence varie d'une série à l'autre, mais de moins en moins quand le nombre de lancers augmente.
3. Étape 3 : b) Non. La valeur 1/2 d'une pièce vient de sa symétrie : ses deux faces jouent le même rôle. Une punaise n'a pas cette symétrie, et les fréquences observées, toutes nettement au-dessus de 0,5 — près de 0,59 sur 5 000 lancers —, ne le confirment pas. c) On retient p ≈ 0,59 : d'après la loi des grands nombres, la fréquence observée sur la plus longue série, 0,5938, est la meilleure estimation de la probabilité. Les séries plus courtes fluctuent davantage : celle de 50 lancers donne 0,62, plus éloignée.

   p ≈ 0,59

4. Étape 4 : d) Les deux lancers sont deux épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, de probabilité de succès p = 0,59. Toutes les deux « pointe en haut » : un seul chemin, 0,59 × 0,59 = 0,3481 ≈ 0,35 Au moins une « pointe en haut » : le contraire est « les deux pointe en bas », de probabilité 0,41 × 0,41 = 0,1681, d'où 1 - 0,1681 = 0,8319 ≈ 0,83 Ces résultats sont des approximations : ils héritent de l'incertitude sur p.

   ≈ 0,35 ; ≈ 0,83

5. Étape 5 : L'erreur classique : Croire que la fréquence observée est la probabilité, et affirmer que la punaise a « exactement 0,5938 » chance de tomber pointe en haut. Une autre série de 5 000 lancers donnerait une fréquence un peu différente. La fréquence estime la probabilité ; elle ne lui est pas égale. À retenir : Sans symétrie, on estime une probabilité par la fréquence sur un grand nombre d'essais : c'est la loi des grands nombres. 👉 Le modèle n'est pas la réalité : on le choisit pour qu'il décrive au mieux les observations.