Deux détecteurs de fumée : le modèle et la réalité

Énoncé

Une salle est équipée de deux détecteurs de fumée A et B. En cas d'incendie, chacun se déclenche avec la probabilité 0,9. On note A l'événement « le détecteur A se déclenche » et B l'événement « le détecteur B se déclenche ». 1. On suppose d'abord que les deux détecteurs fonctionnent indépendamment. a) Calculer la probabilité que les deux détecteurs se déclenchent. b) Calculer la probabilité qu'au moins un détecteur se déclenche. c) Calculer la probabilité qu'exactement un détecteur se déclenche. 2. Lors d'essais réels, on constate que chaque détecteur se déclenche bien dans 90 % des cas, mais que les deux se déclenchent ensemble dans 85 % des cas. a) Les événements A et B sont-ils indépendants ? Justifier. b) Calculer alors la probabilité qu'au moins un détecteur se déclenche, et la comparer à celle de la question 1. b). Quel est le risque d'un modèle trop optimiste ?

Indice : Question 1 : arbre de deux épreuves, ou produit P(A) × P(B). Question 2. b) : rappel de Seconde, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B).

Correction

1. Étape 1 : L'indépendance n'est pas une propriété qu'on décrète : c'est une hypothèse du modèle, que les données réelles peuvent démentir. Indépendance : A et B (avec P(A) ≠ 0) sont indépendants lorsque PA(B) = P(B), ce qui revient à P(A ∩ B) = P(A) × P(B). 👉 Dans la partie 1, on utilise l'indépendance pour calculer. Dans la partie 2, on la teste sur des données — et l'on mesure ce que coûte une hypothèse fausse.
2. Étape 2 : 1. a) Comme les deux détecteurs sont supposés indépendants, on multiplie : P(A ∩ B) = P(A) × P(B) = 0,9 × 0,9 = 0,81 1. b) Le contraire de « au moins un se déclenche » est « aucun ne se déclenche », de probabilité 0,1 × 0,1 = 0,01 (indépendance) : P(au moins un) = 1 - 0,01 = 0,99 1. c) Exactement un : A seul ou B seul, deux chemins de probabilité 0,9 × 0,1 = 0,09 : P(exactement un) = 0,09 + 0,09 = 0,18 Contrôle : 0,81 + 0,18 + 0,01 = 1 ✓

   0,81 ; 0,99 ; 0,18

3. Étape 3 : 2. a) Sur les essais réels, P(A ∩ B) = 0,85, alors que P(A) × P(B) = 0,81. Ces nombres diffèrent : A et B ne sont donc pas indépendants. Avec la définition : PA(B) = (P(A ∩ B))/(P(A)) = (0,85)/(0,9) ≈ 0,944, alors que P(B) = 0,9. Savoir que A s'est déclenché rend plus probable que B se déclenche aussi. 2. b) Par la formule de Seconde : P(A ∪ B) = 0,9 + 0,9 - 0,85 = 0,95 Au moins un détecteur se déclenche dans 95 % des cas, et non 99 % : la probabilité qu'aucun ne se déclenche est de 0,05, cinq fois plus que les 0,01 du modèle indépendant.

   P(A ∪ B) = 0,95

4. Étape 4 : Interprétation : les deux détecteurs ne sont pas indépendants, sans doute parce qu'ils partagent les mêmes conditions (même fumée, même emplacement, même alimentation). Quand l'un rate, l'autre a davantage tendance à rater aussi. Le modèle indépendant surestimait la sécurité. C'est pour cela que des systèmes de sécurité sérieux emploient des détecteurs de types différents, alimentés séparément : on rapproche ainsi la réalité de l'hypothèse d'indépendance.
5. Étape 5 : L'erreur classique : Multiplier les probabilités sans s'être demandé si les événements sont indépendants. Ici, 0,1 × 0,1 = 0,01 suppose l'indépendance ; sur les données réelles, aucun détecteur ne se déclenche dans 5 % des cas. Le produit annonçait un risque cinq fois trop faible. À retenir : L'indépendance est une hypothèse du modèle : on l'utilise quand l'énoncé l'admet, on la teste quand on a des données. 👉 Le test : comparer P(A ∩ B) et P(A) × P(B), ou PA(B) et P(B).