Justifier une indépendance avec un tableau croisé

Énoncé

Dans un lycée de 500 élèves, on a relevé le sexe des élèves, s'ils sont gauchers, et s'ils pratiquent un instrument de musique. Tableau 1 | | Gaucher G | Droitier G̅ | Total | |:---|:---:|:---:|:---:| | Fille F | 36 | 264 | 300 | | Garçon F̅ | 24 | 176 | 200 | | Total | 60 | 440 | 500 | Tableau 2 | | Musique M | Pas de musique M̅ | Total | |:---|:---:|:---:|:---:| | Fille F | 105 | 195 | 300 | | Garçon F̅ | 45 | 155 | 200 | | Total | 150 | 350 | 500 | On choisit un élève au hasard. 1. Les événements F et G sont-ils indépendants ? Justifier. 2. Les événements F et M sont-ils indépendants ? Justifier, puis interpréter.

Indice : Compare P(G) et PF(G), puis P(M) et PF(M). Tu peux aussi comparer P(F ∩ G) et le produit P(F) × P(G).

Correction

1. Étape 1 : Deux événements sont indépendants si savoir que l'un est réalisé ne change pas la probabilité de l'autre. Indépendance : Si P(F) ≠ 0, les événements G et F sont indépendants lorsque PF(G) = P(G), ce qui revient à P(F ∩ G) = P(F) × P(G). 👉 Justifier, c'est calculer les deux nombres et les comparer — jamais deviner. Puis conclure par une phrase.
2. Étape 2 : 1. Sur l'ensemble des élèves : P(G) = 60/500 = 0,12 Parmi les filles (ligne F, 300 élèves), 36 sont gauchères : PF(G) = 36/300 = 0,12 Comme PF(G) = P(G), les événements F et G sont indépendants : être une fille ne change pas la probabilité d'être gaucher, 12 % dans les deux cas. Vérification par le produit : P(F ∩ G) = 36/500 = 0,072 et P(F) × P(G) = 0,6 × 0,12 = 0,072 ✓

   PF(G) = P(G) = 0,12

3. Étape 3 : 2. Sur l'ensemble des élèves : P(M) = 150/500 = 0,3 Parmi les filles, 105 font de la musique : PF(M) = 105/300 = 0,35 Comme PF(M) ≠ P(M), les événements F et M ne sont pas indépendants. Vérification par le produit : P(F ∩ M) = 105/500 = 0,21, alors que P(F) × P(M) = 0,6 × 0,3 = 0,18 : les deux nombres diffèrent ✓

   PF(M) = 0,35 ≠ P(M) = 0,3

4. Étape 4 : Interprétation : dans ce lycée, 35 % des filles pratiquent la musique, contre 30 % de l'ensemble des élèves. Savoir qu'un élève est une fille augmente la probabilité qu'il fasse de la musique. ℹ️ Chez les garçons, PF̅(M) = 45/200 = 0,225 : l'écart est net. La dépendance ne dit pas pourquoi — elle constate seulement un lien dans ces données.
5. Étape 5 : L'erreur classique : Comparer PF(G) à la mauvaise probabilité : à P(F) = 0,6 au lieu de P(G). On conclurait « 0,12 ≠ 0,6, donc F et G ne sont pas indépendants » — à tort. La définition compare la probabilité de G sachant F à la probabilité de G tout court : le même événement de part et d'autre, G. À retenir : Pour justifier : calculer P(A) et PB(A), comparer, conclure par une phrase. 👉 Égalité : indépendants. Différence : pas indépendants — et le sens de l'écart s'interprète.