Le jeu de Monty Hall : garder ou changer de porte ?

Énoncé

Dans un jeu télévisé, trois portes sont fermées : une voiture est cachée derrière l'une d'elles, une chèvre derrière chacune des deux autres. Le candidat choisit une porte au hasard. Le présentateur, qui sait où se trouve la voiture, ouvre alors l'une des deux autres portes, derrière laquelle il y a une chèvre, puis propose au candidat de garder sa porte ou de changer pour l'autre porte encore fermée. C'est la règle du jeu : quel que soit le premier choix du candidat, le présentateur ouvre toujours une porte à chèvre et propose toujours l'échange. On note V l'événement « la porte choisie au départ cache la voiture ». a) Donner P(V) et P(V̅). b) Le candidat décide de toujours garder sa porte. Quelle est sa probabilité de gagner la voiture ? c) Le candidat décide de toujours changer de porte. Expliquer pourquoi il gagne si, et seulement si, V̅ est réalisé. En déduire sa probabilité de gagner. d) Quelle stratégie faut-il choisir ?

Indice : Si la première porte cache une chèvre, le présentateur est obligé d'ouvrir l'AUTRE porte à chèvre : il ne reste alors fermée que la porte de la voiture.

Correction

1. Étape 1 : Beaucoup de gens pensent qu'après l'ouverture d'une porte, il reste « deux portes, donc une chance sur deux ». C'est faux, parce que le présentateur n'ouvre pas une porte au hasard : il sait où est la voiture, et son choix dépend du choix du candidat. La démarche : 1. Faire un arbre dont le premier niveau est le choix initial : voiture ou chèvre. 2. Pour chaque branche, se demander ce que donne la stratégie choisie. 3. Additionner les chemins gagnants. 👉 Le choix initial est le seul moment où le hasard intervient : tout le reste est déterminé par les règles du jeu.
2. Étape 2 : a) Le candidat choisit une porte au hasard parmi trois, et une seule cache la voiture : P(V) = 1/3 P(V̅) = 1 - 1/3 = 2/3 b) Stratégie « garder » : le candidat gagne si et seulement si sa première porte cache la voiture. Ce que fait le présentateur n'y change rien : P(gagner en gardant) = P(V) = 1/3

   P(gagner en gardant) = 1/3

3. Étape 3 : c) Stratégie « changer » : - si V est réalisé (le candidat a choisi la voiture), changer le mène à une chèvre : il perd ; - si V̅ est réalisé (il a choisi une chèvre), le présentateur ne peut ouvrir que l'autre porte à chèvre ; la porte qui reste fermée cache donc la voiture, et changer le fait gagner. Il gagne donc si et seulement si V̅ est réalisé. Sur l'arbre : PV(gagner) = 0 et PV̅(gagner) = 1, d'où P(gagner en changeant) = 1/3 × 0 + 2/3 × 1 = 2/3

   P(gagner en changeant) = 2/3

4. Étape 4 : d) Changer de porte fait gagner avec la probabilité 2/3, garder avec la probabilité 1/3 seulement : il faut toujours changer. On double ainsi ses chances. Contrôle sur 300 parties : en moyenne, le candidat tombe sur la voiture environ 100 fois au départ, et sur une chèvre environ 200 fois. En changeant, il gagne dans ces 200 cas ; en gardant, dans les 100 autres seulement ✓
5. Étape 5 : L'erreur classique : Répondre « une chance sur deux », parce qu'il reste deux portes fermées. Les deux portes ne sont pas équiprobables : le présentateur a choisi la porte à ouvrir en fonction de la position de la voiture. Sa porte « épargnée » concentre les 2/3 de chances des deux portes que le candidat n'avait pas choisies. À retenir : Deux issues ne sont pas forcément équiprobables : il faut modéliser le jeu par un arbre avant de compter. 👉 Le premier niveau de l'arbre est le moment où le hasard intervient vraiment — ici, le choix initial du candidat.