Croix ou pile : l'erreur de d'Alembert (1754)

Énoncé

On joue au jeu suivant avec une pièce équilibrée : on la lance ; si elle tombe sur « croix », on a gagné et le jeu s'arrête ; sinon, on la relance une seconde et dernière fois, et l'on gagne si elle tombe alors sur « croix ». En 1754, dans l'article « Croix ou pile » de l'*Encyclopédie*, le mathématicien d'Alembert raisonne ainsi : il n'y a que trois cas possibles — croix au premier coup ; pile puis croix ; pile puis pile — et deux de ces trois cas font gagner, donc la probabilité de gagner serait 2/3. a) Représenter le jeu par un arbre pondéré. b) Calculer la probabilité de gagner. c) Expliquer l'erreur de d'Alembert. d) Un programme a simulé 5 000 parties de ce jeu : 3 751 ont été gagnées. Ce résultat donne-t-il raison à d'Alembert ?

Indice : Les trois cas de d'Alembert n'ont pas la même probabilité : « croix au premier coup » n'est qu'une seule branche, de probabilité 1/2.

Correction

1. Étape 1 : Compter des cas ne donne une probabilité que si les cas sont équiprobables. C'est l'hypothèse que d'Alembert n'a pas vérifiée. Équiprobabilité : P(A) = (nombre de cas favorables)/(nombre de cas possibles) seulement si tous les cas ont la même probabilité. 👉 L'arbre donne la probabilité de chaque cas : on multiplie le long des chemins, puis on additionne les chemins gagnants. Aucune hypothèse d'équiprobabilité n'est nécessaire.
2. Étape 2 : a) L'arbre. On note C « croix » et P « pile », chacun de probabilité 1/2 à chaque lancer. - Premier lancer C (1/2) : gagné, le jeu s'arrête. Ce chemin n'a qu'une branche. - Premier lancer P (1/2), puis second lancer : C (1/2), gagné ; ou P (1/2), perdu. | chemin | probabilité | issue | |:---:|:---:|:---:| | C | 1/2 | gagné | | P puis C | 1/2 × 1/2 = 1/4 | gagné | | P puis P | 1/2 × 1/2 = 1/4 | perdu | Contrôle : 1/2 + 1/4 + 1/4 = 1 ✓
3. Étape 3 : b) Deux chemins font gagner ; on additionne leurs probabilités : P(gagner) = 1/2 + 1/4 = 3/4 = 0,75 ℹ️ On retrouve ce résultat en imaginant que l'on lance toujours deux fois la pièce : les 4 chemins CC, CP, PC, PP sont alors équiprobables, et trois d'entre eux contiennent au moins une croix.

   P(gagner) = 3/4

4. Étape 4 : c) L'erreur de d'Alembert : ses trois cas ne sont pas équiprobables. « Croix au premier coup » a pour probabilité 1/2, alors que « pile puis croix » et « pile puis pile » n'ont chacun que 1/4. En les comptant comme trois cas de même poids, il donne trop peu de poids au premier, qui est pourtant à lui seul aussi probable que les deux autres réunis. d) La fréquence observée vaut (3 751)/(5 000) = 0,7502. Sur un grand nombre de parties, la fréquence est proche de la probabilité : 0,7502 est très proche de 0,75 et loin de 2/3 ≈ 0,667. La simulation contredit d'Alembert.

   f = 0,7502 ≈ 0,75

5. Étape 5 : L'erreur classique : Compter les cas sans vérifier qu'ils ont la même probabilité : c'est exactement l'erreur de d'Alembert, qui donne 2/3 au lieu de 3/4. Même un grand mathématicien s'y est trompé : la vérification n'est jamais superflue. À retenir : Un arbre pondère chaque cas par sa probabilité ; un simple comptage ne vaut que pour des cas équiprobables. 👉 Et une simulation sur un grand nombre de parties permet de départager deux modèles : la fréquence observée se rapproche de la vraie probabilité.