Le problème des partis (Pascal et Fermat, 1654)

Énoncé

En 1654, Pascal et Fermat échangent des lettres sur un problème posé par le chevalier de Méré : comment partager la mise d'un jeu interrompu ? Deux joueurs, Antoine et Blaise, misent chacun 32 pistoles. Ils jouent une série de parties ; à chaque partie, chacun a une chance sur deux de gagner, indépendamment des autres parties. Le premier qui gagne 3 parties remporte toute la mise de 64 pistoles. Le jeu doit s'arrêter avant la fin. 1. Le jeu s'arrête alors qu'Antoine a gagné 2 parties et Blaise 1. a) Expliquer pourquoi, si l'on avait pu continuer, deux parties au plus auraient suffi à désigner le vainqueur. b) À l'aide d'un arbre, calculer la probabilité que Blaise aurait eue de remporter la mise. c) Un partage est jugé équitable s'il donne à chaque joueur la part de la mise égale à sa probabilité de la remporter. Combien de pistoles reçoit chacun ? 2. Le jeu s'arrête alors qu'Antoine a gagné 1 partie et Blaise aucune. a) Combien de parties au plus auraient été nécessaires pour terminer le jeu ? b) Blaise remporte la mise exactement quand il gagne au moins 3 de ces parties. Calculer la probabilité qu'il remporte la mise, puis le partage équitable.

Indice : Imagine qu'on joue toutes les parties restantes possibles, même si le jeu s'arrêterait avant : cela ne change pas qui atteint 3 victoires le premier. Chaque partie est une épreuve de Bernoulli de probabilité 1/2.

Correction

1. Étape 1 : L'idée de Pascal et Fermat : on ne partage pas selon les parties déjà gagnées, mais selon les chances de gagner la suite. Le passé est acquis ; seul l'avenir est incertain. 👉 L'astuce de Fermat : imaginer qu'on joue toutes les parties qui pourraient encore être nécessaires, même si le jeu se serait arrêté avant. Cela ne change pas le vainqueur, et chaque chemin de l'arbre devient alors équiprobable. Répétition d'épreuves de Bernoulli : Chaque partie est une épreuve de Bernoulli (succès = « Blaise gagne », p = 1/2), répétée de façon identique et indépendante. Avec p = 1/2, chacun des 2ⁿ chemins a pour probabilité 1/(2ⁿ).
2. Étape 2 : 1. a) Antoine a besoin d'une victoire, Blaise de deux. Au bout de deux parties, soit Antoine en a gagné au moins une (il atteint 3), soit Blaise a gagné les deux (il atteint 3) : deux parties suffisent toujours. 1. b) On imagine les deux parties jouées ; on note B « Blaise gagne la partie ». L'arbre a 4 chemins équiprobables, de probabilité 1/4 chacun : BB, BB̅, B̅B, B̅ B̅. Blaise ne remporte la mise que s'il gagne les deux parties, c'est-à-dire sur le seul chemin BB : P(Blaise remporte la mise) = 1/2 × 1/2 = 1/4

   P(Blaise) = 1/4

3. Étape 3 : 1. c) Antoine remporte la mise avec la probabilité 1 - 1/4 = 3/4. Le partage équitable : Antoine : 3/4 × 64 = 48 pistoles ; Blaise : 1/4 × 64 = 16 pistoles. Contrôle : 48 + 16 = 64 ✓ C'est le partage que trouvait Pascal.

   48 et 16 pistoles

4. Étape 4 : 2. a) Antoine a besoin de 2 victoires, Blaise de 3. En 4 parties, l'un des deux atteint forcément son but : si Antoine en gagne au moins 2, il gagne ; sinon il en gagne au plus 1, et Blaise en gagne au moins 3. Avec 3 parties seulement, ce n'est pas toujours le cas : si Antoine en gagne une et Blaise deux, chacun est à 2 victoires et personne n'a gagné. Il faut donc 4 parties au plus. 2. b) On imagine les 4 parties jouées : 2⁴ = 16 chemins, de probabilité 1/16 chacun. Blaise remporte la mise s'il gagne 3 ou 4 parties sur 4 : - exactement 3 victoires de Blaise : la partie qu'il perd est la 1re, la 2e, la 3e ou la 4e, soit 4 chemins ; - 4 victoires : 1 chemin. P(Blaise remporte la mise) = (4 + 1)/16 = 5/16 Sur l'arbre, ces 5 chemins sont en surbrillance. Partage équitable : Blaise reçoit 5/16 × 64 = 20 pistoles, Antoine 11/16 × 64 = 44 pistoles.

   P(Blaise) = 5/16 ; 44 et 20 pistoles

5. Étape 5 : Interprétation : avec une seule partie d'avance, Antoine a droit à 44 pistoles sur 64, soit 12 de plus que sa mise de 32. C'est la valeur que Pascal donne à Fermat dans sa lettre du 29 juillet 1654 : avec une partie d'avance sur trois à gagner, le premier joueur a droit à 44 pistoles. ℹ️ Le partage « au prorata des parties gagnées » donnerait toute la mise à Antoine (1 partie contre 0) : absurde, puisque Blaise garde de réelles chances de gagner.
6. Étape 6 : L'erreur classique : Partager selon le score : à 2 contre 1, donner 2/3 de la mise à Antoine, soit environ 42,7 pistoles au lieu de 48. Le score décrit le passé ; ce qui compte est la probabilité de gagner la suite, qui se lit sur l'arbre des parties restantes. À retenir : Imaginer toutes les parties restantes possibles rend les chemins équiprobables, sans changer le vainqueur. 👉 Avec p = 1/2, chaque chemin de n épreuves vaut 1/(2ⁿ) : une probabilité se calcule alors en comptant des chemins.