Répondre au hasard à un QCM de quatre questions

Énoncé

Un QCM comporte 4 questions. Pour chacune, 4 réponses sont proposées, dont une seule est juste. Un élève n'a pas révisé et répond au hasard à chaque question, indépendamment des autres. a) Justifier qu'il s'agit de la répétition de quatre épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, et donner la probabilité du succès. b) Combien l'arbre de cette expérience a-t-il de chemins ? Combien de chemins comportent exactement 3 bonnes réponses ? c) Calculer la probabilité que l'élève réponde juste aux 4 questions. d) Calculer la probabilité qu'il n'ait aucune bonne réponse. e) Calculer la probabilité qu'il ait au moins 3 bonnes réponses. Que penser de la stratégie « répondre au hasard » ?

Indice : Succès = « bonne réponse », p = 1/4. Un chemin à k bonnes réponses vaut (1/4)ᵏ (3/4)⁴⁻ᵏ. « Au moins 3 » = « exactement 3 » ou « exactement 4 ».

Correction

1. Étape 1 : Quatre épreuves : l'arbre a 2⁴ = 16 chemins. Plutôt que de les calculer un par un, on les compte selon leur nombre de succès. Compter les chemins de quatre épreuves : | succès | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | chemins | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | 👉 Tous les chemins qui ont le même nombre de succès ont la même probabilité : il suffit d'en calculer un, puis de multiplier par leur nombre.
2. Étape 2 : a) Chaque question n'a que deux issues pour l'élève : succès « la réponse est juste », de probabilité p = 1/4 (une bonne réponse sur quatre, choisie au hasard), et échec, de probabilité 3/4. Les 4 questions ont toutes 4 propositions (même p) et l'élève répond à chacune indépendamment : c'est la répétition de quatre épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. b) L'arbre a 2 × 2 × 2 × 2 = 16 chemins. Ceux qui comportent exactement 3 bonnes réponses sont ceux où une seule question est ratée : elle peut être la 1re, la 2e, la 3e ou la 4e, soit 4 chemins — en surbrillance sur l'arbre. En bout de chemin, la probabilité du chemin : (1/4)ᵏ (3/4)⁴⁻ᵏ pour k bonnes réponses, soit 1/256, 3/256, 9/256, 27/256 ou 81/256.
3. Étape 3 : c) Quatre bonnes réponses : un seul chemin, SSSS : P(4) = (1/4)⁴ = 1/256 ≈ 0,004 d) Aucune bonne réponse : un seul chemin, S̅ S̅ S̅ S̅ : P(0) = (3/4)⁴ = 81/256 ≈ 0,316

   P(4) = 1/256 ; P(0) = 81/256

4. Étape 4 : e) Au moins 3 bonnes réponses : « exactement 3 » ou « exactement 4 ». Chacun des 4 chemins à 3 bonnes réponses a pour probabilité (1/4)³ × 3/4 = 3/256, donc P(3) = 4 × 3/256 = 12/256 On additionne les deux cas : P(au moins 3) = 12/256 + 1/256 = 13/256 ≈ 0,051 Interprétation : répondre au hasard donne environ 5 % de chances d'avoir au moins 3 bonnes réponses, et presque un tiers de chances de n'en avoir aucune. Ce n'est pas une stratégie.

   P(au moins 3) = 13/256 ≈ 0,051

5. Étape 5 : L'erreur classique : Oublier de compter les chemins, et écrire P(3) = (1/4)³ × 3/4 = 3/256. C'est la probabilité d'un chemin, par exemple « juste, juste, juste, faux ». Mais la question ratée peut être n'importe laquelle des quatre : il y a 4 chemins, d'où 12/256. À retenir : Pour un événement « exactement k succès » : (nombre de chemins) × (probabilité d'un chemin). 👉 Pour 4 épreuves, les nombres de chemins sont 1, 4, 6, 4, 1 — leur somme fait bien 16.