Trois tirages avec remise

Énoncé

Une urne contient 3 boules rouges et 7 boules bleues, indiscernables au toucher. On tire une boule, on note sa couleur, puis on la remet dans l'urne. On recommence trois fois en tout. a) Expliquer pourquoi cette expérience est la répétition de trois épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, en précisant le succès choisi et sa probabilité. b) Représenter l'expérience par un arbre et donner le nombre de chemins. c) Calculer la probabilité de tirer trois boules rouges. d) Calculer la probabilité de tirer exactement une boule rouge. e) Calculer la probabilité de tirer au moins une boule rouge. f) Que changerait un tirage sans remise ?

Indice : Succès = « tirer une rouge », p = 0,3. Un chemin à k rouges a pour probabilité 0,3ᵏ × 0,7³⁻ᵏ. Pour « exactement une », compte les chemins : la rouge peut sortir au 1er, au 2e ou au 3e tirage.

Correction

1. Étape 1 : La remise est le mot décisif : elle rend l'urne identique à chaque tirage, donc la probabilité de tirer une rouge reste la même, et un tirage n'influence pas le suivant. Probabilité d'un chemin : Pour n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, un chemin qui comporte k succès et n - k échecs a pour probabilité pᵏ (1 - p)ⁿ ⁻ ᵏ, quel que soit l'ordre. 👉 Avec trois épreuves, l'arbre a 2 × 2 × 2 = 8 chemins : on peut encore tous les écrire, et vérifier que leurs probabilités ont pour somme 1.
2. Étape 2 : a) Chaque tirage n'a que deux issues : succès R « la boule est rouge », de probabilité p = 3/10 = 0,3, et échec R̅, de probabilité 0,7. Grâce à la remise, l'urne contient toujours 3 rouges sur 10 boules : les trois tirages sont identiques (même p) et indépendants (un tirage ne change pas l'urne).
3. Étape 3 : b) L'arbre a trois niveaux, un par tirage, et 2 × 2 × 2 = 8 chemins. Le long de chaque chemin, on multiplie les probabilités (tirages indépendants) : un chemin à 2 rouges vaut 0,3² × 0,7 = 0,063, un chemin à une rouge 0,3 × 0,7² = 0,147. Les chemins en surbrillance sont ceux qui comportent exactement une rouge : ils serviront à la question d). Contrôle : 0,027 + 3 × 0,063 + 3 × 0,147 + 0,343 = 1 ✓
4. Étape 4 : c) Trois rouges : un seul chemin, RRR : P(RRR) = 0,3 × 0,3 × 0,3 = 0,027

   P(RRR) = 0,027

5. Étape 5 : d) Exactement une rouge : la rouge peut sortir au 1er, au 2e ou au 3e tirage, soit trois chemins, RR̅ R̅, R̅RR̅ et R̅ R̅R, chacun de probabilité 0,147 : P(exactement une rouge) = 3 × 0,147 = 0,441

   P(exactement une) = 0,441

6. Étape 6 : e) Au moins une rouge : le contraire, « aucune rouge », est le seul chemin R̅ R̅ R̅ : P(au moins une rouge) = 1 - 0,343 = 0,657 f) Sans remise, l'urne changerait après chaque tirage : après une rouge, il ne resterait que 2 rouges sur 9 boules. La probabilité de tirer une rouge ne serait plus la même d'un tirage à l'autre : ce ne serait plus une répétition d'épreuves identiques et indépendantes, et le calcul 0,3ᵏ × 0,7³⁻ᵏ serait faux.

   P(au moins une) = 0,657

7. Étape 7 : L'erreur classique : Calculer « au moins une rouge » par 1 - 0,3³ = 0,973. 0,3³ est la probabilité que toutes les boules soient rouges, pas qu'aucune ne le soit. Le contraire de « au moins une rouge » est « aucune rouge » : c'est 0,7³ qu'on retranche. À retenir : Un chemin à k succès sur n vaut pᵏ (1 - p)ⁿ ⁻ ᵏ ; on compte les chemins de l'événement avant d'additionner. 👉 Et « avec remise » est la condition qui rend les tirages identiques et indépendants.