Deux jets de 7 mètres : un arbre de deux épreuves

Énoncé

Une joueuse de handball réussit un jet de 7 mètres avec la probabilité 0,7. Elle en tire deux. On admet que les deux tirs sont indépendants. a) Expliquer pourquoi cette situation est la répétition de deux épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Préciser le succès et sa probabilité. b) Représenter la situation par un arbre pondéré. c) Calculer la probabilité qu'elle réussisse les deux tirs. d) Calculer la probabilité qu'elle réussisse exactement un tir. e) Calculer la probabilité qu'elle réussisse au moins un tir.

Indice : Succès = « le tir est réussi », p = 0,7. Sur l'arbre, multiplie le long d'un chemin, puis additionne les chemins qui réalisent l'événement. Pour « au moins un », passe par le contraire.

Correction

1. Étape 1 : Chaque tir n'a que deux issues — réussi ou manqué — : c'est une épreuve de Bernoulli. On la répète deux fois, dans les mêmes conditions et de façon indépendante. Calculer avec un arbre : 1. le long d'un chemin : on multiplie les probabilités des branches ; 2. pour un événement : on additionne les probabilités des chemins qui le réalisent. 👉 Avec deux épreuves, l'arbre n'a que 4 chemins : on peut les écrire tous, et vérifier que leurs probabilités ont pour somme 1.
2. Étape 2 : a) Chaque tir est une épreuve à deux issues : le succès S « le tir est réussi », de probabilité p = 0,7, et l'échec S̅, de probabilité 1 - 0,7 = 0,3. La joueuse tire deux fois, avec la même probabilité de réussite, et les tirs sont indépendants (on l'admet) : c'est la répétition de deux épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
3. Étape 3 : b) L'arbre a deux niveaux, un par tir. De chaque nœud partent S (0,7) et S̅ (0,3). | chemin | probabilité | |:---:|:---:| | SS | 0,7 × 0,7 = 0,49 | | SS̅ | 0,7 × 0,3 = 0,21 | | S̅S | 0,3 × 0,7 = 0,21 | | S̅ S̅ | 0,3 × 0,3 = 0,09 | Contrôle : 0,49 + 0,21 + 0,21 + 0,09 = 1 ✓
4. Étape 4 : c) Deux réussites : un seul chemin, SS : P(SS) = 0,7 × 0,7 = 0,49

   P(SS) = 0,49

5. Étape 5 : d) Exactement une réussite : deux chemins — elle réussit le premier tir et manque le second (SS̅), ou l'inverse (S̅S). On additionne : P(exactement un) = 0,21 + 0,21 = 0,42

   P(exactement un) = 0,42

6. Étape 6 : e) Au moins une réussite : le contraire est « aucune réussite », un seul chemin, S̅ S̅ : P(au moins un) = 1 - 0,09 = 0,91 Contrôle : « au moins un » = « exactement un » ou « deux », et 0,42 + 0,49 = 0,91 ✓

   P(au moins un) = 0,91

7. Étape 7 : L'erreur classique : Ne compter qu'un chemin pour « exactement une réussite », et répondre 0,21. La réussite peut venir du premier ou du second tir : deux chemins, donc 0,42. Le contrôle de la somme le démasque : 0,49 + 0,21 + 0,09 = 0,79, pas 1. À retenir : Multiplier le long d'un chemin, additionner les chemins de l'événement. 👉 Et pour « au moins un », le contraire « aucun » n'a qu'un chemin : 1 - (1 - p)².