Lire un tableau croisé : une case, trois probabilités

Énoncé

Un club sportif compte 200 adhérents, qui pratiquent chacun une seule activité : la natation ou le tennis. On a relevé leur âge : | | Natation N | Tennis N̅ | Total | |:---|:---:|:---:|:---:| | Moins de 18 ans J | 48 | 32 | 80 | | 18 ans et plus J̅ | 42 | 78 | 120 | | Total | 90 | 110 | 200 | On choisit un adhérent au hasard. a) Calculer P(J ∩ N). b) Calculer PJ(N), puis interpréter ce nombre par une phrase. c) Calculer PN(J), puis interpréter ce nombre par une phrase.

Indice : Les trois probabilités ont le même numérateur : l'effectif de la case « J et N ». Seul le dénominateur change : l'effectif total, le total de la ligne J, ou le total de la colonne N.

Correction

1. Étape 1 : Les trois questions portent sur la même case du tableau — les 48 jeunes nageurs — mais pas sur la même population de référence. Probabilité conditionnelle sur un tableau croisé : PA(B) = (effectif de A et B)/(effectif de A) 👉 Le mot « sachant » choisit le dénominateur : dans PJ(N), on ne regarde plus que la ligne J ; dans PN(J), que la colonne N. Sans « sachant », on divise par l'effectif total.
2. Étape 2 : a) « J et N » : jeune et nageur. Il n'y a pas de « sachant », donc on compte parmi tous les adhérents : P(J ∩ N) = 48/200 = 0,24

   P(J ∩ N) = 0,24

3. Étape 3 : b) « N sachant J » : comme on sait que l'adhérent a moins de 18 ans, on se restreint à la ligne J, soit 80 adhérents, dont 48 nagent : PJ(N) = 48/80 = 0,6 Interprétation : 60 % des adhérents de moins de 18 ans pratiquent la natation.

   PJ(N) = 0,6

4. Étape 4 : c) « J sachant N » : cette fois, on sait que l'adhérent nage, donc on se restreint à la colonne N, soit 90 adhérents, dont 48 ont moins de 18 ans : PN(J) = 48/90 = 8/15 ≈ 0,533 Interprétation : environ 53 % des nageurs du club ont moins de 18 ans. Contrôle : les trois résultats sont différents — 0,24, 0,6 et environ 0,533 — alors que leur numérateur est le même. C'est normal : ils répondent à trois questions différentes ✓

   PN(J) = 8/15 ≈ 0,533

5. Étape 5 : L'erreur classique : Confondre PJ(N) et PN(J), et répondre 0,6 à la question c). « Parmi les jeunes, quelle part nage ? » et « parmi les nageurs, quelle part est jeune ? » ne sont pas la même question : 0,6 contre environ 0,533. Lis l'indice : c'est la population à laquelle tu te restreins. À retenir : Même numérateur (la case « A et B »), trois dénominateurs : le total, la ligne du « sachant », ou la colonne du « sachant ». 👉 Une interprétation commence toujours par « parmi les … » : c'est le « sachant ».