Estimer une proportion avec un intervalle de confiance

Énoncé

On veut estimer la proportion de personnes favorables à une mesure dans une population. On interroge un échantillon de 400 personnes et on trouve 240 personnes favorables. a) Donner une estimation de la proportion réelle p. b) Construire un intervalle de confiance au seuil de 95 %. c) Interpréter le résultat.

Indice : La fréquence observée f est un estimateur de p. L'intervalle de confiance est [f - 1{n} ; f + 1{n}].

Correction

1. Étape 1 : ⚠️ L'exercice inverse du précédent, et c'est LA confusion du chapitre. Fluctuation : on connaît p (la population), on prédit f (l'échantillon). Intervalle centré sur p. Confiance : on observe f (le sondage), on estime p (la population inconnue). Intervalle centré sur f. Intervalle de confiance au seuil de 95 % : [formule] 👉 Le repère qui tranche : regarder quelle donnée l'énoncé fournit. Ici on interroge 400 personnes et l'on en trouve 240 favorables — c'est un résultat observé, donc un f. On est dans le cas confiance. Les deux formules ont le même rayon 1{ n} ; seul le centre change.
2. Étape 2 : a) L'estimation. La fréquence observée dans l'échantillon : [formule] C'est la meilleure estimation ponctuelle de p : sans autre information, on parie que la proportion dans la population vaut environ 60 %. ⚠️ Mais c'est une estimation sur un échantillon, donc entachée d'incertitude — c'est justement ce que l'intervalle va chiffrer.

   f = 0{,}6

3. Étape 3 : b) L'intervalle. Le rayon, avec 400 = 20 : 1{ n} = 1{20} = 0{,}05 [formule] 👉 Le centre est f = 0{,}6, pas une valeur théorique — c'est ce qui distingue cet intervalle de celui de l'exercice 28010.

   I = [0{,}55\,;\,0{,}65]

4. Étape 4 : c) L'interprétation, et il faut être précis : [formule] 👉 Ce que cela signifie exactement : si l'on refaisait ce sondage un grand nombre de fois, l'intervalle construit contiendrait la vraie valeur p dans 95 % des cas. Pour ce sondage-ci, ou bien il la contient, ou bien non — on ne le saura jamais. ℹ️ En pratique, c'est la « marge d'erreur » annoncée par les instituts : 5 points ici. Elle ne dépend que de la taille de l'échantillon — 400 personnes donnent 5 points, 1 000 personnes donneraient 3{,}2 points, et 10 000 personnes 1 point. C'est pourquoi les sondages politiques interrogent en général autour d'un millier de personnes : c'est le compromis entre coût et précision.

   p [0{,}55\,;\,0{,}65] à 95 \%

5. Étape 5 : L'erreur classique : Employer la formule de fluctuation — centrée sur une valeur théorique — alors qu'aucun p n'est donné. Ici l'énoncé ne fournit que le résultat du sondage : il n'y a pas de p à mettre au centre. Et inversement, dans l'exercice 28010, il n'y avait pas de f observé. 👉 Le test en une question : l'énoncé me donne-t-il une proportion annoncée (fluctuation) ou un résultat mesuré (confiance) ? À retenir : Fluctuation part de p et prédit f. Confiance part de f et estime p. 👉 Même rayon 1{ n}, centres différents — et le rayon ne dépend que de n : c'est la marge d'erreur des sondages.