Calculer une variance avec effectifs
Énoncé
Voici la répartition des notes d'une classe :
| Note | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 |
|------|---|---|----|----|----|
| Effectif | 3 | 7 | 10 | 6 | 4 |
Calculer la moyenne, la variance et l'écart-type.
Indice : Calcule d'abord la moyenne pondérée, puis utilise la formule V = f_i x_i^2 - (x)^2 ou V = f_i (x_i - x)^2.
Correction
- Étape 1 : Une série avec effectifs : chaque note est répétée plusieurs fois. On ne recopie pas la liste — on emploie une formule adaptée.
La formule de König-Huygens :
[formule]
« moyenne des carrés moins carré de la moyenne »
👉 Pourquoi celle-ci plutôt que la définition ? Parce qu'elle évite de calculer les 30 écarts à la moyenne — surtout quand cette moyenne n'est pas ronde, comme ici (12{,}06). Deux sommes suffisent.
⚠️ Ne pas inverser les deux termes : c'est la moyenne des carrés moins le carré de la moyenne. L'inverse donnerait un nombre négatif, ce qui est impossible pour une variance.
- Étape 2 : L'effectif total : 3+7+10+6+4 = 30.
La moyenne :
x = 3 8 + 7 10 + 10 12 + 6 14 + 4 16{30}
= 24 + 70 + 120 + 84 + 64{30} = 362{30}
[formule]
Contrôle : entre 8 et 16 ✓, et proche de 12 qui est la note la plus fréquente ✓
x = 362{30} 12{,}07
- Étape 3 : La moyenne des carrés : on reprend le même calcul avec x_i^2 à la place de x_i.
| x_i | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 |
|:---|---:|---:|---:|---:|---:|
| x_i^2 | 64 | 100 | 144 | 196 | 256 |
| n_i | 3 | 7 | 10 | 6 | 4 |
| n_i x_i^2 | 192 | 700 | 1440 | 1176 | 1024 |
[formule]
⚠️ Le dénominateur reste 30 — on divise toujours par l'effectif total, pas par le nombre de notes distinctes.
x^2 = 4532{30} 151{,}07
- Étape 4 : La variance :
V = x^2 - (x)^2 = 4532{30} - (362{30})^2
En valeur exacte : 1229{225}
[formule]
Contrôles, tous deux instantanés :
V > 0 ✓ — une variance négative signalerait une inversion des deux termes ;
2{,}34 est du bon ordre : les notes s'étalent de 8 à 16, donc un écart typique de 2 à 3 points est cohérent ✓
V 5{,}46 ; 2{,}34
- Étape 5 : L'erreur classique :
Écrire V = (x)^2 - x^2 — les deux termes inversés.
On obtiendrait 145{,}60 - 151{,}07 = -5{,}46, une variance négative. C'est impossible : la variance est une moyenne de carrés, donc positive ou nulle.
👉 Le contrôle de signe suffit : si la variance est négative, l'ordre est inversé. Et il y a une raison mathématique — la moyenne des carrés est toujours supérieure au carré de la moyenne (elles ne sont égales que si toutes les valeurs sont identiques).
À retenir :
V = x^2 - (x)^2 : moyenne des carrés moins carré de la moyenne, dans cet ordre.
👉 Et diviser toujours par l'effectif total, jamais par le nombre de valeurs distinctes.