Prendre une décision avec un intervalle de fluctuation

Énoncé

Un fabricant affirme que 80 % de ses produits sont conformes (p = 0{,}8). Un contrôleur prélève un échantillon de 64 produits et trouve 45 produits conformes, soit une fréquence f = 0{,}703 (70,3 %). Au seuil de 5 %, peut-on accepter l'affirmation du fabricant ?

Indice : Calcule l'intervalle de fluctuation pour p = 0{,}8 et n = 64. Vérifie si f appartient à cet intervalle.

Correction

1. Étape 1 : Une prise de décision : on confronte une affirmation à un échantillon. Décider avec un intervalle de fluctuation : 1. supposer l'affirmation vraie (p = 0{,}8) ; 2. calculer l'intervalle où devrait tomber la fréquence observée ; 3. comparer f à cet intervalle : f I rien ne contredit l'affirmation, on l'accepte ; f I le résultat est trop improbable, on la rejette. ⚠️ « Accepter » ne veut PAS dire « c'est vrai ». Cela veut dire : l'échantillon ne fournit pas d'argument suffisant pour rejeter. Nuance essentielle, et souvent mal comprise.
2. Étape 2 : Les conditions, avec p = 0{,}8 et n = 64 : n = 64 25 ✓ np = 64 0{,}8 = 51{,}2 5 ✓ n(1-p) = 64 0{,}2 = 12{,}8 5 ✓ Les trois sont vérifiées.

   n 25 \ ; \ np 5 \ ; \ n(1-p) 5

3. Étape 3 : L'intervalle, avec 64 = 8 : 1{ n} = 1{8} = 0{,}125 [formule] La fréquence observée : f = 45{64} 0{,}703.

   I = [0{,}675\,;\,0{,}925] \ ; f 0{,}703

4. Étape 4 : La comparaison : [formule] f appartient à l'intervalle, donc [formule] 👉 Mais de justesse : 0{,}703 n'est qu'à 0{,}028 de la borne inférieure, alors que l'intervalle a un rayon de 0{,}125. La fréquence observée est dans le bas de la fourchette. Avec un échantillon plus grand, l'intervalle se resserrerait et la même fréquence pourrait sortir : à n = 400, le rayon vaudrait 0{,}05 et l'intervalle [0{,}75\,;0{,}85] — 0{,}703 en serait exclu. ⚠️ La conclusion dépend donc de la taille de l'échantillon, et pas seulement du résultat observé. C'est ce qu'il faut comprendre : 64 produits, c'est peu pour trancher.

   f I on accepte

5. Étape 5 : L'erreur classique : Conclure « le fabricant dit vrai » au lieu de « on ne peut pas le contredire ». Un test de ce type ne prouve jamais une affirmation : il constate seulement que l'observation n'est pas assez improbable pour la rejeter. Avec f = 0{,}703 contre p = 0{,}8 annoncé, il y a d'ailleurs un écart réel — simplement pas assez grand pour être concluant sur 64 produits. 👉 Et le seuil de 5 % signifie qu'on se trompe une fois sur vingt : même si le fabricant dit vrai, une fréquence hors de I arrivera dans 5 % des contrôles. À retenir : On suppose l'affirmation vraie, on calcule où f devrait tomber, on compare. 👉 Et « accepter » signifie « rien ne permet de rejeter » — jamais « c'est démontré ». La taille de l'échantillon décide autant que le résultat.