Comparer deux séries statistiques

Énoncé

On compare les notes de deux classes : Classe A : 10, 11, 12, 13, 14 Classe B : 5, 10, 13, 16, 21 a) Calculer la moyenne et la médiane de chaque classe. b) Calculer l'écart-type de chaque classe. c) Comparer et interpréter les résultats.

Indice : Calcule tous les indicateurs pour les deux classes, puis compare-les. La classe B a des valeurs plus dispersées.

Correction

1. Étape 1 : Comparer deux séries demande deux informations, et c'est tout l'objet de l'exercice : une position et une dispersion. Comparer deux séries : position — moyenne et médiane : où se situe l'ensemble ; dispersion — écart-type : à quel point les valeurs sont regroupées. 👉 Deux séries de même moyenne peuvent être totalement différentes. C'est précisément le cas ici : les moyennes sont proches (12 et 13), et pourtant les deux classes n'ont rien à voir. ⚠️ Répondre « la classe B est meilleure car sa moyenne est plus haute » serait passer à côté de la question.
2. Étape 2 : a) Position. Classe A (10, 11, 12, 13, 14) : somme = 60, donc x_A = 60{5} = 12. La série est rangée et compte 5 valeurs : la médiane est la 3ᵉ, soit M_{eA} = 12. Classe B (5, 10, 13, 16, 21) : somme = 65, donc x_B = 65{5} = 13. Médiane : la 3ᵉ valeur, M_{eB} = 13. ℹ️ Dans les deux classes moyenne et médiane coïncident — signe de séries symétriques autour de leur centre.

   x_A = M_{eA} = 12 \ ; x_B = M_{eB} = 13

3. Étape 3 : b) Dispersion — classe A. Les écarts à 12 sont -2, -1, 0, 1, 2 : V_A = 4+1+0+1+4{5} = 10{5} = 2 [formule] Classe B. Les écarts à 13 sont -8, -3, 0, 3, 8 : V_B = 64+9+0+9+64{5} = 146{5} = 29{,}2 [formule]

   _A 1{,}41 ; _B 5{,}40

4. Étape 4 : c) L'interprétation, et c'est le cœur de l'exercice. | | classe A | classe B | |:---|---:|---:| | moyenne | 12 | 13 | | médiane | 12 | 13 | | écart-type | 1,41 | 5,40 | | étendue | 4 | 16 | Les positions sont presque identiques — un point d'écart sur la moyenne, ce qui est peu. Les dispersions ne le sont pas du tout : _B vaut près de quatre fois _A. 👉 Ce que cela signifie concrètement. En classe A, toutes les notes sont entre 10 et 14 : le groupe est homogène, et un cours moyen convient à tout le monde. En classe B, les notes vont de 5 à 21 : il y a des élèves en grande difficulté et des élèves très à l'aise dans la même salle. Le groupe est hétérogène, et l'enseignement doit être différencié. La moyenne seule aurait masqué cette différence entièrement.

   _B 3{,}8 _A

5. Étape 5 : L'erreur classique : Conclure sur la seule moyenne — « la classe B est meilleure ». Un point d'écart sur la moyenne n'est pas significatif ; un facteur 4 sur l'écart-type l'est. La moyenne dit où est le centre, l'écart-type dit si le centre est représentatif. En classe B, aucune élève ne ressemble à « la moyenne » : personne n'a 13. 👉 C'est pourquoi tout tableau statistique sérieux donne toujours une mesure de dispersion à côté de la moyenne. À retenir : Position ET dispersion : deux séries de même moyenne peuvent être radicalement différentes. 👉 Petit groupe homogène, la moyenne est représentative. Grand groupe hétérogène, la moyenne ne décrit personne.