Résoudre un problème complexe avec arbre et formule de Bayes

Énoncé

Un test de dépistage d'une maladie donne : - 95 % de résultats positifs pour les personnes malades - 2 % de résultats positifs pour les personnes saines On sait que 1 % de la population est malade. a) Construire un arbre pondéré. b) Calculer la probabilité qu'une personne ait un test positif. c) Si une personne a un test positif, quelle est la probabilité qu'elle soit réellement malade ?

Indice : Utilise un arbre avec "Malade/Sain" au premier niveau et "Positif/Négatif" au deuxième niveau. Pour la question c), utilise la formule de Bayes.

Correction

1. Étape 1 : Le même mécanisme qu'à l'exercice précédent, appliqué à une situation où le résultat contredit l'intuition — c'est l'exercice le plus important du chapitre. 👉 Un test qui détecte 95 % des malades semble excellent. On s'attend donc à ce qu'un résultat positif signifie « presque sûrement malade ». Le calcul va dire l'inverse, et il faut comprendre pourquoi. La démarche, identique : 1. arbre : la maladie d'abord, le résultat du test ensuite ; 2. P(positif) par les probabilités totales ; 3. renversement par la définition de la probabilité conditionnelle. ⚠️ Et l'on gardera en tête la donnée qui décide de tout : seulement 1 % de la population est malade.
2. Étape 2 : a) L'arbre. On note M « malade », S « sain », P « test positif », N « test négatif ». Premier niveau : P(M) = 0{,}01 et P(S) = 0{,}99 — somme = 1 ✓ Second niveau : P_M(P) = 0{,}95 et P_M(N) = 0{,}05 (le test rate 5 % des malades) P_S(P) = 0{,}02 et P_S(N) = 0{,}98 (le test se trompe sur 2 % des sains) Chaque nœud somme à 1 ✓

   P(M) = 0{,}01 \ ; \ P_M(P) = 0{,}95 \ ; \ P_S(P) = 0{,}02

3. Étape 3 : b) La probabilité d'un test positif. Deux chemins y mènent — un malade correctement détecté, ou un sain faussement signalé : P(P) = 0{,01 0{,}95}_{vrais positifs} + 0{,99 0{,}02}_{faux positifs} = 0{,}0095 + 0{,}0198 [formule] ⚠️ Regardez les deux termes. Les faux positifs (0{,}0198) sont plus de deux fois plus nombreux que les vrais positifs (0{,}0095) — alors que le taux d'erreur sur les sains n'est que de 2 %. 👉 La raison : il y a 99 fois plus de sains que de malades. Même un très faible pourcentage d'erreur, appliqué à une population énorme, produit plus de cas qu'un excellent taux de détection appliqué à une population minuscule.

   P(P) = 0{,}0095 + 0{,}0198 = 0{,}0293

4. Étape 4 : c) Le renversement, par la définition : [formule] [formule] ⚠️⚠️ Le résultat est déconcertant, et il est juste. Un test qui détecte 95 % des malades, appliqué à quelqu'un dont le résultat est positif, ne donne qu'une chance sur trois d'être réellement malade.

   P_P(M) 0{,}32

5. Étape 5 : 👉 Comprendre le paradoxe : raisonner sur 10 000 personnes. | | malades (1 %) | sains (99 %) | total | |:---|---:|---:|---:| | effectif | 100 | 9 900 | 10 000 | | tests positifs | 95 | 198 | 293 | | tests négatifs | 5 | 9 702 | 9 707 | Sur les 293 personnes qui ont un test positif, seulement 95 sont malades : [formule] Tout est là. Les 198 faux positifs viennent d'une erreur de 2 % appliquée à 9 900 personnes ; les 95 vrais positifs, d'une réussite de 95 % appliquée à seulement 100 personnes. La rareté de la maladie l'emporte sur la qualité du test. ℹ️ Ce n'est pas un exercice artificiel : c'est exactement pourquoi on ne dépiste pas une maladie rare sur toute la population, et pourquoi un test positif est toujours suivi d'un second examen. Le second test, lui, s'applique à une population où la maladie n'est plus rare (32 % au lieu de 1 %) — et il devient donc bien plus concluant.

   95{95+198} = 95{293} 32\,\%

6. Étape 6 : L'erreur classique : Répondre 95 % — c'est-à-dire confondre P_M(P) et P_P(M). C'est la même confusion qu'à l'exercice précédent, mais ici elle a des conséquences réelles : c'est l'erreur que commettent la plupart des gens, y compris des professionnels, devant un résultat de test. 👉 Le repère reste le même : P_M(P) = « sachant malade, probabilité d'un test positif » (une propriété du test). P_P(M) = « sachant le test positif, probabilité d'être malade » (ce qui intéresse le patient). Deux questions, deux nombres. À retenir : Quand la maladie est rare, les faux positifs peuvent dépasser les vrais — même avec un excellent test. 👉 Et le meilleur moyen de le comprendre est de raisonner sur une population de 10 000 : les effectifs parlent là où les pourcentages trompent.