Résoudre un problème complexe avec arbre et formule de Bayes

Énoncé

Un test de dépistage d'une maladie donne : - 95 % de résultats positifs pour les personnes malades - 2 % de résultats positifs pour les personnes saines On sait que 1 % de la population est malade. a) Construire un arbre pondéré. b) Calculer la probabilité qu'une personne ait un test positif. c) Si une personne a un test positif, quelle est la probabilité qu'elle soit réellement malade ?

Indice : Utilise un arbre avec "Malade/Sain" au premier niveau et "Positif/Négatif" au deuxième niveau. Pour la question c), utilise la formule de Bayes.

Correction

1. Étape 1 : **a)** Premier niveau : P(M) = 0{,}01 et P(S) = 0{,}99. Deuxième niveau : P_M(P) = 0{,}95, P_M(N) = 0{,}05, P_S(P) = 0{,}02, P_S(N) = 0{,}98.

   Arbre construit

2. Étape 2 : **b)** On utilise la formule des probabilités totales.

   P(P) = P(M) P_M(P) + P(S) P_S(P) = 0{,}01 0{,}95 + 0{,}99 0{,}02 = 0{,}0095 + 0{,}0198 = 0{,}0293

3. Étape 3 : **c)** On utilise la formule de Bayes.

   P_P(M) = P(M) P_M(P){P(P)} = 0{,01 0{,}95}{0{,}0293} 0{,}324