Calculer un intervalle de fluctuation

Énoncé

Dans une population, la proportion d'individus ayant une caractéristique est p = 0{,}4 (40 %). On prélève un échantillon de taille n = 100. Déterminer l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 %.

Indice : Utilise la formule I = [p - 1{n} ; p + 1{n}]. Vérifie d'abord les conditions d'application.

Correction

1. Étape 1 : Un intervalle de fluctuation répond à la question : si la proportion vaut vraiment p, dans quelle fourchette la fréquence observée va-t-elle tomber ? Intervalle de fluctuation au seuil de 95 % : [formule] valable si n 25, np 5 et n(1-p) 5. 👉 Le sens de lecture : on connaît p (la population), on prédit f (l'échantillon). C'est le sens population échantillon. ⚠️ Les trois conditions ne sont pas décoratives : elles garantissent que l'approximation employée est valable. Les vérifier fait partie de la réponse, et un correcteur les attend.
2. Étape 2 : Les trois conditions, avec p = 0{,}4 et n = 100 : n = 100 25 ✓ np = 100 0{,}4 = 40 5 ✓ n(1-p) = 100 0{,}6 = 60 5 ✓ Les trois sont vérifiées : la formule s'applique. ℹ️ Les deux dernières signifient qu'on attend au moins 5 individus dans chaque catégorie, car un échantillon trop déséquilibré rendrait l'approximation invalide. C'est donc une condition sur la forme de l'échantillon, pas sur sa seule taille.

   n 25 \ ; \ np 5 \ ; \ n(1-p) 5

3. Étape 3 : Le rayon de l'intervalle : 1{ n} = 1{100} = 1{10} = 0{,}1 L'intervalle : [formule] Interprétation : dans 95 % des échantillons de taille 100, la fréquence observée tombera entre 30 % et 50 %. 👉 La largeur dépend de n, pas de p. Avec n = 400, le rayon serait 1{20} = 0{,}05 — deux fois plus petit. Quadrupler l'échantillon divise l'incertitude par deux, ce qui explique pourquoi les sondages sérieux interrogent au moins un millier de personnes.

   I = [0{,}3\,;\,0{,}5]

4. Étape 4 : L'erreur classique : Confondre fluctuation et confiance. Fluctuation : on connaît p, on prédit où tombera f. L'intervalle est centré sur p. Confiance : on observe f, on estime p. L'intervalle est centré sur f. 👉 Les deux formules se ressemblent — même rayon 1{ n} — mais elles répondent à des questions inverses. Le repère : quelle est la donnée de l'énoncé ? Si c'est p, c'est une fluctuation ; si c'est un résultat de sondage, c'est une confiance. À retenir : Fluctuation : du connu (p) vers l'observé (f), intervalle centré sur p. 👉 Et le rayon 1{ n} ne dépend que de la taille de l'échantillon : quadrupler n divise l'incertitude par deux.