Calculer les quartiles

Énoncé

Déterminer les quartiles Q_1, Q_2 et Q_3 de la série suivante : [formule]

Indice : Range les valeurs, trouve la médiane Q_2, puis Q_1 est la médiane de la première moitié et Q_3 est la médiane de la deuxième moitié.

Correction

1. Étape 1 : Les quartiles découpent la série en quatre parts d'effectifs égaux : un quart des valeurs sous Q_1, la moitié sous Q_2, trois quarts sous Q_3. 👉 Q_2 est la médiane — les deux mots désignent la même chose. Méthode par les moitiés : 1. calculer la médiane Q_2, qui coupe la série en deux ; 2. Q_1 est la médiane de la moitié inférieure ; 3. Q_3 est la médiane de la moitié supérieure. ⚠️ Il existe plusieurs conventions pour les quartiles, qui donnent parfois des valeurs légèrement différentes. Celle-ci — la méthode des moitiés — est la plus courante au lycée, et c'est celle qu'on emploie ici.
2. Étape 2 : La série est déjà rangée — on le vérifie tout de même : [formule] Il y a 10 valeurs, effectif pair. La médiane est donc la moyenne des rangs 5 et 6 : [formule]

   Q_2 = 14

3. Étape 3 : Les deux moitiés, de 5 valeurs chacune : inférieure : \{5,\ 8,\ 10,\ 12,\ 13\} supérieure : \{15,\ 18,\ 20,\ 22,\ 25\} Chacune a un effectif impair, donc sa médiane est sa valeur centrale (rang 3) : [formule] ℹ️ Ici les deux moitiés ne contiennent aucune valeur médiane, puisque Q_2 = 14 n'appartient pas à la série. Quand l'effectif est impair, la question se pose de savoir si l'on inclut la valeur médiane dans les moitiés — c'est là que les conventions divergent.

   Q_1 = 10 ; Q_3 = 20

4. Étape 4 : Les contrôles, tous immédiats : l'ordre : Q_1 Q_2 Q_3, soit 10 14 20 ✓ les effectifs : au moins 25 % des valeurs sous Q_1 — ici 5, 8, 10 font 3 valeurs sur 10 ✓ l'écart interquartile Q_3 - Q_1 = 20 - 10 = 10 : c'est l'amplitude de la moitié centrale de la série, celle qui exclut le quart le plus bas et le quart le plus haut. 👉 L'écart interquartile est une mesure de dispersion robuste : contrairement à l'étendue (25-5 = 20), il n'est pas affecté par une valeur extrême isolée.

   Q_3 - Q_1 = 10

5. Étape 5 : L'erreur classique : Chercher Q_1 « au quart » de la liste en comptant 10 4 = 2{,}5 et en prenant la troisième valeur au hasard. La méthode des moitiés est plus sûre : on calcule une médiane de médiane, donc on réapplique une méthode déjà connue. Et le contrôle Q_1 Q_2 Q_3 attrape les inversions. À retenir : Q_2 est la médiane ; Q_1 et Q_3 sont les médianes des deux moitiés. 👉 Et l'écart interquartile Q_3 - Q_1 mesure la dispersion sans se laisser tromper par une valeur extrême.