Utiliser la formule de Bayes

Énoncé

Une usine produit des pièces. 60 % viennent de la machine A et 40 % de la machine B. - La machine A produit 3 % de pièces défectueuses - La machine B produit 8 % de pièces défectueuses On choisit une pièce au hasard et on constate qu'elle est défectueuse. Quelle est la probabilité qu'elle vienne de la machine A ?

Indice : Utilise la formule de Bayes : P_A(D) = P(A) P_A(D){P(D)}. Calcule d'abord P(D) avec la formule des probabilités totales.

Correction

1. Étape 1 : Une question qui remonte le temps : on connaît la cause effet (« la machine A produit 3 % de défauts ») et l'on cherche l'effet cause (« la pièce est défectueuse, d'où vient-elle ? »). Renverser un conditionnement : 1. calculer P(D) par les probabilités totales — on additionne les chemins qui mènent à D ; 2. écrire la définition : P_D(A) = P(A D){P(D)} ; 3. et P(A D) se lit sur l'arbre : c'est le produit le long du chemin. 👉 Il n'y a rien de plus que la définition de la probabilité conditionnelle. Ce calcul porte un nom savant, mais on n'en a pas besoin : le numérateur est un chemin de l'arbre, le dénominateur la somme de tous les chemins qui aboutissent à D. ⚠️ Et P_A(D) et P_D(A) sont deux nombres différents — ici 0{,}03 et 0{,}36. Les confondre est l'erreur de fond du chapitre.
2. Étape 2 : L'arbre, avec ses quatre chemins : | chemin | probabilité | |:---|---:| | A puis défectueuse | 0{,}6 0{,}03 = 0{,}018 | | A puis correcte | 0{,}6 0{,}97 = 0{,}582 | | B puis défectueuse | 0{,}4 0{,}08 = 0{,}032 | | B puis correcte | 0{,}4 0{,}92 = 0{,}368 | Contrôle : la somme des quatre vaut 0{,}018+0{,}582+0{,}032+0{,}368 = 1 ✓

   P(A D) = 0{,}018 \ ; P(B D) = 0{,}032

3. Étape 3 : La probabilité totale d'avoir une pièce défectueuse : on additionne les deux chemins qui y mènent. P(D) = P(A) P_A(D) + P(B) P_B(D) = 0{,}6 0{,}03 + 0{,}4 0{,}08 = 0{,}018 + 0{,}032 [formule] 👉 Contrôle de plausibilité : 5\,\% doit être entre les deux taux de défaut, 3\,\% et 8\,\% — c'est une moyenne pondérée des deux. ✓ Et plus proche de 3\,\% que de 8\,\%, car la machine A produit davantage.

   P(D) = 0{,}05

4. Étape 4 : Le renversement, par la définition : [formule] Interprétation : parmi toutes les pièces défectueuses, 36 % viennent de la machine A. 👉 Le résultat mérite un regard. La machine A produit 60 % des pièces, mais seulement 36 % des défauts — parce qu'elle est plus fiable. Inversement, B produit 40 % des pièces et 64 % des défauts. Autrement dit : trouver une pièce défectueuse rend la machine B beaucoup plus probable qu'elle ne l'était a priori (de 40 % à 64 %). C'est exactement ce que fait un indice — il déplace les probabilités.

   P_D(A) = 0{,}36

5. Étape 5 : L'erreur classique : Répondre 0{,}03 — c'est-à-dire donner P_A(D) au lieu de P_D(A). Ces deux nombres répondent à des questions inverses : « une pièce de A est-elle défectueuse ? » et « une pièce défectueuse vient-elle de A ? ». Ils valent ici 0{,}03 et 0{,}36, soit un facteur douze. 👉 Le repère : la lettre en indice est ce qu'on sait, celle entre parenthèses ce qu'on cherche. P_D(A) se lit « sachant D, probabilité de A ». À retenir : Renverser un conditionnement, c'est appliquer la définition : numérateur = un chemin, dénominateur = tous les chemins menant au même résultat. 👉 Et un indice déplace les probabilités : ici la machine B passe de 40 % à 64 % dès qu'on sait la pièce défectueuse.