Calculer la variance et l'écart-type

Énoncé

Calculer la variance et l'écart-type de la série suivante : [formule]

Indice : Calcule d'abord la moyenne, puis utilise la formule V = 1{n} (x_i - x)^2 et = V.

Correction

1. Étape 1 : L'écart-type mesure la dispersion : à quel point les valeurs s'écartent de la moyenne. Variance et écart-type : [formule] 👉 Pourquoi élever au carré ? Parce que la somme des écarts simples vaut toujours zéro — les positifs compensent les négatifs. Le carré supprime les signes et rend la somme informative. 👉 Et pourquoi la racine à la fin ? Parce que la variance est dans l'unité au carré (des « points² » pour des notes), ce qui n'a pas de sens concret. L'écart-type revient à l'unité de départ, et se compare donc directement aux valeurs. ⚠️ La moyenne se calcule en premier : tout le reste en dépend.
2. Étape 2 : La moyenne, d'abord : x = 10+12+13+15+16{5} = 66{5} = 13{,}2 Contrôle : entre 10 et 16 ✓

   x = 13{,}2

3. Étape 3 : Les écarts et leurs carrés, en tableau pour ne rien mélanger : | x_i | 10 | 12 | 13 | 15 | 16 | |:---|---:|---:|---:|---:|---:| | x_i - x | -3{,}2 | -1{,}2 | -0{,}2 | 1{,}8 | 2{,}8 | | (x_i-x)^2 | 10{,}24 | 1{,}44 | 0{,}04 | 3{,}24 | 7{,}84 | Contrôle : la somme des écarts simples doit valoir 0 : -3{,}2 - 1{,}2 - 0{,}2 + 1{,}8 + 2{,}8 = 0 ✓ 👉 Ce contrôle valide la moyenne avant de passer aux carrés : s'il échoue, inutile de continuer.

   (x_i - x) = 0 \

4. Étape 4 : La variance est la moyenne des carrés des écarts : V = 10{,24 + 1{,}44 + 0{,}04 + 3{,}24 + 7{,}84}{5} = 22{,8}{5} [formule] L'écart-type : [formule] 👉 Contrôle de plausibilité : l'écart-type doit être du même ordre que les écarts typiques à la moyenne. Ici les écarts vont de 0{,}2 à 3{,}2, et 2{,}14 tombe bien au milieu ✓ ⚠️ Un écart-type plus grand que l'étendue (ici 16-10 = 6) serait impossible.

   V = 4{,}56 ; 2{,}14

5. Étape 5 : L'erreur classique : Confondre variance et écart-type, ou oublier la racine. Ce sont deux nombres différents : 4{,}56 et 2{,}14. Et seul l'écart-type se compare aux données, puisqu'il est dans la même unité. 👉 Second piège : additionner les écarts sans les élever au carré. On obtiendrait toujours 0 — et c'est précisément la raison d'être du carré. À retenir : Moyenne écarts carrés moyenne des carrés = variance racine = écart-type. 👉 Et deux contrôles : la somme des écarts simples vaut 0, et est du même ordre que les écarts typiques.