Calculer des probabilités avec un arbre

Énoncé

Une urne contient 5 boules rouges et 3 boules bleues. On tire successivement 2 boules sans remise. a) Construire un arbre pondéré. b) Calculer la probabilité d'obtenir deux boules rouges. c) Calculer la probabilité d'obtenir une boule rouge et une boule bleue.

Indice : Attention, le tirage est sans remise, donc les probabilités du deuxième tirage dépendent du premier. Utilise la formule des probabilités composées.

Correction

1. Étape 1 : Un tirage sans remise : la composition de l'urne change après le premier tirage. C'est ce que l'arbre pondéré rend visible. Les deux règles de l'arbre : le long d'un chemin on multiplie les probabilités ; entre plusieurs chemins on additionne. 👉 Et une règle de contrôle : à chaque nœud, la somme des branches vaut 1. C'est le meilleur moyen de repérer une erreur avant qu'elle ne se propage. ⚠️ Sans remise, le second niveau dépend du premier : après une rouge il reste 4 rouges sur 7 boules ; après une bleue, 5 rouges sur 7. Les branches du second niveau ne sont donc pas les mêmes.
2. Étape 2 : a) L'arbre. L'urne contient 5 rouges et 3 bleues, soit 8 boules. Premier tirage (8 boules) : P(R_1) = 5{8} et P(B_1) = 3{8} — somme = 1 ✓ Second tirage, après une rouge (il reste 4 rouges et 3 bleues, soit 7) : P_{R_1}(R_2) = 4{7} et P_{R_1}(B_2) = 3{7} — somme = 1 ✓ Second tirage, après une bleue (5 rouges et 2 bleues, soit 7) : P_{B_1}(R_2) = 5{7} et P_{B_1}(B_2) = 2{7} — somme = 1 ✓ 👉 Le dénominateur passe de 8 à 7 : une boule a été retirée et n'est pas revenue.

   4 nœuds, chaque somme de branches = 1

3. Étape 3 : b) Deux rouges. Un seul chemin : R_1 puis R_2. On multiplie le long du chemin : P(R_1 R_2) = P(R_1) P_{R_1}(R_2) = 5{8} 4{7} = 20{56} [formule] ℹ️ Comparaison instructive : avec remise, on aurait 5{8} 5{8} = 25{64} 0{,}391. Le tirage sans remise donne une probabilité plus faible — logique, puisqu'il reste moins de rouges après en avoir pris une.

   P(R_1 R_2) = 5{14}

4. Étape 4 : c) Une rouge et une bleue. ⚠️ Deux chemins mènent à ce résultat — l'énoncé ne dit pas dans quel ordre. Chemin 1 (rouge puis bleue) : 5{8} 3{7} = 15{56} Chemin 2 (bleue puis rouge) : 3{8} 5{7} = 15{56} On additionne : [formule] 👉 Les deux chemins ont la même probabilité, et ce n'est pas un hasard : les deux produits contiennent les mêmes facteurs 5, 3, 8, 7, seulement rangés autrement.

   P = 15{28}

5. Étape 5 : Le contrôle final, et il valide tout l'arbre. Les trois issues possibles sont : deux rouges, une de chaque, deux bleues. Deux bleues : 3{8} 2{7} = 6{56} = 3{28} Somme des trois : 5{14} + 15{28} + 3{28} = 10{28} + 15{28} + 3{28} = 28{28} = 1 ✓ 👉 Ce contrôle teste l'arbre entier — toutes les branches, toutes les multiplications. S'il tombe juste, il est très improbable qu'une erreur subsiste. L'erreur classique : N'compter qu'un chemin en c), et répondre 15{56}. « Une rouge et une bleue » ne précise pas l'ordre : les deux chemins comptent. C'est l'oubli le plus fréquent sur les arbres, et la somme des probabilités le démasque (on trouverait 0{,}82 au lieu de 1). À retenir : Multiplier le long d'un chemin, additionner entre les chemins. 👉 Et deux contrôles : la somme des branches d'un nœud vaut 1, et la somme de toutes les issues vaut 1.