Calculer des probabilités avec un arbre

Énoncé

Une urne contient 5 boules rouges et 3 boules bleues. On tire successivement 2 boules **sans remise**. a) Construire un arbre pondéré. b) Calculer la probabilité d'obtenir deux boules rouges. c) Calculer la probabilité d'obtenir une boule rouge et une boule bleue.

Indice : Attention, le tirage est sans remise, donc les probabilités du deuxième tirage dépendent du premier. Utilise la formule des probabilités composées.

Correction

1. Étape 1 : **a)** Premier niveau : P(R_1) = 5{8} et P(B_1) = 3{8}. Deuxième niveau : Si première rouge, P_{R_1}(R_2) = 4{7} et P_{R_1}(B_2) = 3{7}. Si première bleue, P_{B_1}(R_2) = 5{7} et P_{B_1}(B_2) = 2{7}.

   Arbre avec probabilités conditionnelles

2. Étape 2 : **b)** Probabilité de (Rouge, Rouge) : on multiplie les probabilités le long du chemin.

   P(R_1 R_2) = P(R_1) P_{R_1}(R_2) = 5{8} 4{7} = 20{56} = 5{14}

3. Étape 3 : **c)** Il y a deux chemins possibles : (Rouge, Bleue) ou (Bleue, Rouge). On additionne les probabilités.

   P = 5{8} 3{7} + 3{8} 5{7} = 15{56} + 15{56} = 30{56} = 15{28}