Calculer une probabilité conditionnelle simple

Énoncé

Dans une classe de 30 élèves, 18 sont des filles. Parmi les filles, 12 font du sport. Quelle est la probabilité qu'un élève fasse du sport sachant que c'est une fille ?

Indice : Utilise la définition : P_F(S) = P(F S){P(F)} ou compte directement parmi les filles.

Correction

  1. Étape 1 : Une probabilité conditionnelle répond à une question restreinte : on ne regarde plus toute la classe, mais seulement les filles. Probabilité conditionnelle : [formule] 👉 Le mot « sachant que » change le dénominateur, et c'est tout. On remplace l'effectif total par celui de la condition : la population de référence rétrécit. ⚠️ C'est pourquoi P_F(S) et P(S) sont deux nombres différents — et souvent très différents. Le premier se calcule sur 18 filles, le second sur 30 élèves.
  2. Étape 2 : On note F « être une fille » et S « faire du sport ». On cherche P_F(S), la probabilité de faire du sport sachant qu'on est une fille. Le dénominateur est l'effectif de la condition : les 18 filles. Le numérateur est l'effectif de celles qui vérifient les deux : les 12 filles qui font du sport. [formule]

    P_F(S) = 12{18}

  3. Étape 3 : On simplifie par 6 : [formule] Contrôle : une probabilité est toujours entre 0 et 1 ✓ — et 2{3} signifie que deux filles sur trois font du sport, ce qui est cohérent car 12 est bien les deux tiers de 18. 👉 Ce qu'on NE peut PAS calculer ici : la probabilité qu'un élève fasse du sport, tous sexes confondus. L'énoncé ne dit rien des 12 garçons — on ignore combien d'entre eux en font. La donnée manque, et il faut savoir le repérer.

    P_F(S) = 2{3}

  4. Étape 4 : L'erreur classique : Diviser par 30 au lieu de 18, et annoncer 12{30} = 0{,}4. Ce nombre existe, mais il répond à une autre question : « quelle est la probabilité d'être une fille et de faire du sport ? » — c'est P(F S), pas P_F(S). 👉 Le repère : « sachant que » le dénominateur est l'effectif de la condition. « et » le dénominateur est l'effectif total. À retenir : « Sachant que » rétrécit la population de référence : le dénominateur change. 👉 Et P_F(S) = 2{3} contre P(F S) = 12{30} = 0{,}4 : deux nombres, deux questions.