Épidémie : le rôle du taux de reproduction

Énoncé

Dans un modèle simplifié d'épidémie, chaque malade contamine en moyenne R personnes, puis guérit : R est le taux de reproduction. Sans aucune mesure, il vaut R₀, le taux de reproduction de base de la maladie. Les contaminations se font par « générations » d'environ 5 jours. On note u(n) le nombre de nouveaux malades à la génération n. a) Au départ, u(0) = 20 et, sans mesures, R = R₀ = 2. Calculer u(1), u(2), u(3) et u(4), puis exprimer u(n) en fonction de n. b) À partir de la génération 4, des mesures sanitaires font baisser le taux de reproduction à R = 0,5. On note v(k) = 320 × 0,5ᵏ le nombre de nouveaux malades k générations après la mise en place des mesures. Quel est le sens de variation de v ? c) Au bout de combien de générations le nombre de nouveaux malades devient-il strictement inférieur à 10 ? Combien de jours environ cela représente-t-il ? d) Que se passerait-il si R = 1 ? Expliquer pourquoi la valeur 1 est décisive.

Indice : Chaque génération multiplie le nombre de nouveaux malades par R. Pour le c), remarque que 10/320 = 1/32 = 0,5⁵.

Correction

1. Étape 1 : Le nombre de nouveaux malades est multiplié par R à chaque génération : c'est une évolution exponentielle de base R. Toute la question est donc de savoir si cette base est plus grande ou plus petite que 1, puisque c'est elle qui décide du sens de variation. Sens de variation selon la base : Pour u(0) > 0 : la suite u(0) × qⁿ est croissante si q > 1, constante si q = 1, décroissante si 0 < q < 1.
2. Étape 2 : a) Avec R = R₀ = 2, on double à chaque génération :

   u(1) = 40 u(2) = 80 u(3) = 160 u(4) = 320

3. Étape 3 : La suite est géométrique de raison 2 et de premier terme 20 :

   u(n) = 20 × 2ⁿ

4. Étape 4 : b) La base de v est 0,5, comprise entre 0 et 1, donc v est strictement décroissante : l'épidémie recule. On part bien de v(0) = 320 = u(4).
5. Étape 5 : c) On veut 320 × 0,5ᵏ < 10, c'est-à-dire, en divisant par 320 :

   0,5ᵏ < 10/320 = 1/32 = 0,5⁵

6. Étape 6 : Comme k ↦ 0,5ᵏ est strictement décroissante, l'inégalité s'inverse sur les exposants : k > 5. On le vérifie sur les valeurs :

   v(5) = 320 × 1/32 = 10 v(6) = 5

7. Étape 7 : Pour k = 5, on a exactement 10 nouveaux malades, ce qui n'est pas STRICTEMENT inférieur à 10 : il faut donc attendre 6 générations, soit environ 6 × 5 = 30 jours.
8. Étape 8 : d) Avec R = 1, la base vaut 1 et 1ᵏ = 1 pour tout k : le nombre de nouveaux malades resterait constant. La valeur 1 sépare donc les deux régimes — au-dessus, l'épidémie s'étend ; en dessous, elle recule.
9. Étape 9 : En clair : avec R = R₀ = 2, les nouveaux cas sont multipliés par 16 en quatre générations ; avec R = 0,5, ils passent sous 10 en un mois environ. C'est pourquoi l'objectif des mesures sanitaires est de faire passer le taux de reproduction R sous 1 — R₀, lui, est une caractéristique de la maladie. « Strictement inférieur » exclut l'égalité : Pour k = 5, v(5) = 10 exactement : ce n'est pas inférieur strictement à 10. Répondre 5 générations, c'est donner le dernier rang qui ne convient pas encore, au lieu du premier qui convient. Tout se lit sur la base : Base plus grande que 1 : croissance ; égale à 1 : stagnation ; entre 0 et 1 : décroissance. C'est la même règle pour une suite géométrique et pour une fonction x ↦ aˣ.