Doubler un capital : à quel moment ?
Énoncé
Un capital de 1 000 € est placé à intérêts composés au taux annuel de 10 %. Sa valeur au bout de t années est C(t) = 1 000 × 1,1ᵗ, pour t ≥ 0.
On donne :
| n | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|
| 1,1ⁿ | 1,610 51 | 1,771 561 | 1,948 717 1 | 2,143 588 81 |
et 1,1⁰,⁵ ≈ 1,0488.
a) Au bout de combien d'années entières le capital a-t-il doublé pour la première fois ?
b) Le capital a-t-il doublé au bout de 7 ans et demi ? En déduire un encadrement de la durée de doublement.
c) Les banquiers utilisent une règle approchée : à un taux de p %, un capital double en environ 70/p années. Cette règle est-elle cohérente avec les résultats précédents ?
d) On considère le programme Python suivant. Que fait la boucle, et qu'affiche le programme ?
```python
C = 1000
n = 0
while C < 2000:
C = C * 1.1
n = n + 1
print(n)
```
Indice : Doubler, c'est atteindre 2 000 €, donc 1,1ᵗ ≥ 2. Pour le b), 1,1⁷,⁵ = 1,1⁷ × 1,1⁰,⁵.
Correction
- Étape 1 : Le capital double quand C(t) ≥ 2 000, c'est-à-dire quand 1,1ᵗ ≥ 2 : on se ramène à une condition sur la puissance seule. Le tableau donne les années entières, la valeur 1,1⁰,⁵ permet de couper l'année en deux, et la croissance de C garantit qu'une fois doublé, le capital le reste. Le programme du d) automatise ce même essai, année par année.
Seuil et monotonie :
Comme 1,1 > 1, la fonction t ↦ 1,1ᵗ est strictement croissante : si 1,1ᵗ_⁰ ≥ 2, alors 1,1ᵗ ≥ 2 pour tout t ≥ t₀.
- Étape 2 : a) On divise par 1 000 : doubler signifie 1,1ᵗ ≥ 2. Dans le tableau :
1,1⁷ ≈ 1,949 < 2 1,1⁸ ≈ 2,144 ≥ 2
- Étape 3 : Donc C(7) ≈ 1 948,72 € et C(8) ≈ 2 143,59 € : en années entières, le capital a doublé pour la première fois au bout de 8 ans.
- Étape 4 : b) On découpe l'exposant 7,5 = 7 + 0,5 :
1,1⁷,⁵ = 1,1⁷ × 1,1⁰,⁵ ≈ 1,9487 × 1,0488 ≈ 2,044
- Étape 5 : Donc C(7,5) ≈ 2 044 € ≥ 2 000 € : au bout de 7 ans et demi, le capital a déjà doublé. Comme C(7) < 2 000 et que C est croissante, la durée de doublement d vérifie :
7 < d ≤ 7,5 ans
- Étape 6 : c) La règle des banquiers donne 70/10 = 7 ans. C'est un peu moins que la durée réelle, comprise entre 7 et 7,5 ans : la règle donne le bon ordre de grandeur, à quelques mois près.
- Étape 7 : d) La variable C part de 1 000 et la boucle la multiplie par 1,1 tant que C < 2 000, c'est-à-dire tant que le capital n'a pas doublé ; la variable n compte les passages, donc les années entières. La boucle s'arrête au premier n tel que 1 000 × 1,1ⁿ ≥ 2 000 : d'après le a), le programme affiche 8.
- Étape 8 : La condition de la boucle est le CONTRAIRE de ce qu'on cherche : on cherche « C ≥ 2 000 » (le capital a doublé), on boucle tant que « C < 2 000 ». Pour « dépasser strictement 2 000 », on bouclerait tant que C ≤ 2 000.
- Étape 9 : En clair : placé à 10 %, le capital double en un peu plus de 7 ans — mais, si les intérêts ne sont versés qu'en fin d'année, on ne le constate sur le relevé qu'au bout de 8 ans.
Doubler en dix ans ? Non :
Un raisonnement linéaire dirait : 10 % par an, donc 100 % en 10 ans.
C'est oublier que les intérêts rapportent à leur tour : la croissance exponentielle double le capital en un peu plus de 7 ans.
Se ramener à la puissance seule :
Diviser par la valeur initiale transforme « C(t) ≥ 2 000 » en « 1,1ᵗ ≥ 2 » : le seuil ne dépend plus du capital placé.
Un capital de 50 € ou de 50 000 € double exactement dans le même temps.