Le modèle de Malthus

Énoncé

En 1798, l'économiste Thomas Malthus compare la croissance d'une population et celle des ressources alimentaires. On étudie un modèle simplifié, où x désigne le temps mesuré en périodes de 25 ans (x ≥ 0) : - la population (en millions d'habitants) double tous les 25 ans : P(x) = 8 × 2ˣ ; - les ressources permettent de nourrir R(x) = 8 + 10x millions de personnes. a) Calculer P(x) et R(x) pour x = 0, x = 1 et x = 2. Quelle croissance est linéaire, laquelle est exponentielle ? b) On donne √(2) ≈ 1,414. Calculer P(1,5) et R(1,5). c) Au bout de combien d'années la population dépasse-t-elle les ressources ? Donner un encadrement, puis interpréter.

Indice : Pour P(1,5), écris 2¹,⁵ = 2¹ × 2⁰,⁵ et 2⁰,⁵ = √(2).

Correction

1. Étape 1 : On met face à face une croissance qui multiplie (la population) et une croissance qui ajoute (les ressources). Un tableau de valeurs, complété par une valeur intermédiaire, permet d'encadrer le moment où la première dépasse la seconde. Deux modèles : Ajouter le même nombre à chaque période : croissance linéaire (fonction affine). Multiplier par le même nombre : croissance exponentielle (x ↦ aˣ).
2. Étape 2 : a) Pour la population, on double à chaque période :

   P(0) = 8 P(1) = 16 P(2) = 32

3. Étape 3 : Pour les ressources, on ajoute 10 millions à chaque période :

   R(0) = 8 R(1) = 18 R(2) = 28

4. Étape 4 : La croissance de R est linéaire (R est une fonction affine, on ajoute 10 par période) ; celle de P est exponentielle (on multiplie par 2 par période).
5. Étape 5 : b) On découpe l'exposant 1,5 = 1 + 0,5, et 16 × 1,414 = 22,624 :

   P(1,5) = 8 × 2 × 2⁰,⁵ = 16√(2) ≈ 22,6

6. Étape 6 : Et pour les ressources :

   R(1,5) = 8 + 10 × 1,5 = 23

7. Étape 7 : c) On compare : P(1,5) ≈ 22,6 < 23 = R(1,5), mais P(2) = 32 > 28 = R(2). La figure montre que, passé le départ commun en x = 0, les deux courbes ne se croisent qu'une fois : la population dépasse donc les ressources entre x = 1,5 et x = 2, soit entre :

   1,5 × 25 = 37,5 ans et 2 × 25 = 50 ans

8. Étape 8 : Et l'écart se creuse ensuite : P double à chaque période alors que R n'augmente que de 10. Pour x = 3 : P(3) = 64 contre R(3) = 38.
9. Étape 9 : En clair : dans ce modèle, la population dépasse les ressources entre 37,5 et 50 ans — c'est la famine annoncée par Malthus. L'histoire l'a démenti, parce que les rendements agricoles ont crû bien plus vite que prévu : un modèle repose sur des hypothèses qu'il faut interroger. Au début, la croissance linéaire paraît gagner : Au bout de 25 ans, les ressources (18) devancent encore la population (16). Conclure sur ce seul relevé serait une erreur : dans ce modèle, la population passe devant avant 50 ans, et l'écart ne cesse ensuite de se creuser. Une valeur intermédiaire resserre l'encadrement : Les valeurs entières disaient « entre 25 et 50 ans ». Le calcul de P(1,5), rendu possible par 2⁰,⁵ = √(2), ramène l'encadrement à « entre 37,5 et 50 ans ».