La propagation d'une rumeur

Énoncé

Le jour 0, une personne lance une rumeur. Chaque jour, chaque personne qui a appris la rumeur la veille la répète à 3 personnes qui ne la connaissaient pas. On note u(n) le nombre de personnes qui apprennent la rumeur le jour n ; ainsi u(0) = 1. a) Calculer u(1), u(2) et u(3). Quelle est la nature de la suite u ? Exprimer u(n) en fonction de n. b) À partir de quel jour plus de 1 000 personnes apprennent-elles la rumeur dans la journée ? c) On donne 3¹⁰ = 59 049. Donner un ordre de grandeur de u(16), puis de u(17). d) La France compte environ 68 millions d'habitants. Que penser de ce modèle au bout de deux semaines et demie ?

Indice : Chaque personne en informe trois : le nombre de nouvelles personnes est multiplié par 3 chaque jour. Pour le c), 3¹⁶ = 3¹⁰ × 3⁶.

Correction

1. Étape 1 : Chaque nouvelle personne en informe trois autres le lendemain : le nombre de nouvelles personnes est multiplié par 3 chaque jour, c'est une suite géométrique. On cherche ensuite un seuil par essais, puis des ordres de grandeur grâce aux propriétés des puissances — et l'on interroge le modèle. Suite géométrique : Si u(n+1) = q × u(n), alors u(n) = u(0) × qⁿ ; pour u(0) > 0 et q > 1, la suite est croissante.
2. Étape 2 : a) On multiplie par 3 de jour en jour :

   u(1) = 3 u(2) = 9 u(3) = 27

3. Étape 3 : La suite est géométrique de raison 3 et de premier terme u(0) = 1, donc :

   u(n) = 3ⁿ

4. Étape 4 : b) On calcule les puissances de 3 jusqu'à dépasser 1 000 : 3⁴ = 81, 3⁵ = 243, puis

   u(6) = 3⁶ = 729 < 1 000 u(7) = 3⁷ = 2 187 > 1 000

5. Étape 5 : Comme la suite est croissante (raison 3 > 1), le seuil reste dépassé ensuite : c'est à partir du jour 7 que plus de 1 000 personnes apprennent la rumeur dans la journée.
6. Étape 6 : c) On découpe l'exposant, 16 = 10 + 6 : u(16) = 3¹⁰ × 3⁶ = 59 049 × 729. Puis on arrondit chaque facteur : 59 049 ≈ 6 × 10⁴ et 729 ≈ 7 × 10².

   u(16) ≈ 6 × 10⁴ × 7 × 10² = 4,2 × 10⁷

7. Étape 7 : Le lendemain, on multiplie encore par 3 :

   u(17) = 3 × u(16) ≈ 1,3 × 10⁸

8. Étape 8 : d) Le modèle annonce plus de 100 millions de nouvelles personnes informées le jour 17, soit davantage que toute la population française (6,8 × 10⁷). Il n'est donc plus valable : bien avant, beaucoup de personnes à qui l'on répète la rumeur la connaissent déjà, et la croissance ralentit.
9. Étape 9 : En clair : le modèle exponentiel décrit bien les premiers jours, mais il cesse d'être réaliste au bout de deux semaines environ — un modèle se valide aussi par le bon sens. Un exposant somme donne un PRODUIT de puissances : Écrire 3¹⁶ = 3¹⁰ + 3⁶ = 59 778 donne environ 6 × 10⁴, plus de 700 fois moins que 4,3 × 10⁷. On multiplie : 3¹⁰ ⁺ ⁶ = 3¹⁰ × 3⁶. Une croissance exponentielle se sous-estime facilement ; une addition à la place d'une multiplication la sous-estime à coup sûr. Les ordres de grandeur se calculent de tête : Découper l'exposant (16 = 10 + 6) et arrondir chaque facteur à un chiffre suffit : 6 × 7 = 42, puis 10⁴ × 10² = 10⁶. La valeur exacte, 43 046 721, confirme l'ordre de grandeur 4 × 10⁷.