Datation au carbone 14

Énoncé

Après la mort d'un organisme, le carbone 14 qu'il contient se désintègre. Sa demi-vie est d'environ 5 730 ans : c'est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux s'est désintégrée. La proportion de carbone 14 restante au bout de x demi-vies est p(x) = 0,5ˣ, pour x ≥ 0. a) Quelle proportion de carbone 14 reste-t-il au bout de 11 460 ans ? b) On donne 0,5⁰,⁵ ≈ 0,707. Quelle proportion reste-t-il au bout de 2 865 ans ? Au bout de 8 595 ans ? c) Un fossile contient 12,5 % de son carbone 14 initial. Quel est son âge ? d) Un autre fossile en contient 35 %. Encadrer son âge.

Indice : Convertis chaque durée en nombre de demi-vies : 11 460 = 2 × 5 730. Pour le c), écris 0,125 comme une puissance de 0,5.

Correction

1. Étape 1 : Tout se joue dans le choix de l'unité de temps : en comptant en demi-vies, la proportion restante est une simple puissance de 0,5. On convertit donc chaque durée en nombre de demi-vies, puis on utilise les propriétés des puissances et la décroissance de x ↦ 0,5ˣ. Décroissance radioactive : Au bout de x demi-vies, il reste la proportion 0,5ˣ des noyaux. Comme 0 < 0,5 < 1, cette fonction est strictement décroissante.
2. Étape 2 : a) 11 460 ans font (11 460)/(5 730) = 2 demi-vies :

   p(2) = 0,5² = 0,25 = 25 %

3. Étape 3 : b) 2 865 ans font (2 865)/(5 730) = 0,5 demi-vie :

   p(0,5) = 0,5⁰,⁵ ≈ 0,707 ≈ 70,7 %

4. Étape 4 : 8 595 ans font (8 595)/(5 730) = 1,5 demi-vie. On découpe l'exposant, 0,5¹,⁵ = 0,5¹ × 0,5⁰,⁵ : il reste environ 35,4 % du carbone 14.

   p(1,5) ≈ 0,5 × 0,707 ≈ 0,354

5. Étape 5 : c) On cherche x tel que 0,5ˣ = 0,125. Or 0,5³ = 0,125, et comme la fonction est strictement décroissante, 3 est la seule solution : le fossile a 3 demi-vies.

   3 × 5 730 = 17 190 ans

6. Étape 6 : d) On encadre 0,35 par des valeurs connues : p(1,5) ≈ 0,354 et p(2) = 0,25, donc p(2) < 0,35 < p(1,5). Comme p est décroissante, l'ordre s'inverse sur les âges :

   1,5 < x < 2

7. Étape 7 : En années, en multipliant par 5 730 :

   8 595 < âge < 11 460 ans

8. Étape 8 : En clair : le premier fossile a environ 17 000 ans ; le second entre 8 600 et 11 500 ans environ. Deux demi-vies ne font pas tout disparaître : Retirer 50 % puis encore 50 % ne donne pas 0 % : la seconde moitié porte sur ce qui RESTE. Après deux demi-vies, il reste 1/4 ; après trois, 1/8 — et jamais 0. Changer d'unité simplifie tout : En prenant la demi-vie pour unité, le coefficient vaut exactement 0,5 par unité de temps. Avec les années pour unité, il faudrait le coefficient annuel 0,5¹/⁽⁵ ⁷³⁰⁾, impossible à manier de tête.