Résoudre graphiquement 2ˣ = 6

Énoncé

On a tracé ci-dessous la courbe de la fonction f définie sur [0 ; 4] par f(x) = 2ˣ, et la droite d'équation y = 6. a) Calculer f(0), f(1), f(2) et f(3), et vérifier que ces valeurs correspondent à la courbe. b) Lire graphiquement la solution de l'équation 2ˣ = 6. c) En déduire l'ensemble des solutions de l'inéquation 2ˣ ≥ 6 sur [0 ; 4]. d) On donne √(2) ≈ 1,414. Calculer une valeur approchée de 2²,⁵, et contrôler la lecture du b).

Indice : La solution est l'abscisse du point d'intersection de la courbe et de la droite. Pour le d), 2²,⁵ = 2² × 2⁰,⁵ et 2⁰,⁵ = √(2).

Correction

1. Étape 1 : On ne sait pas résoudre 2ˣ = 6 par le calcul exact à ce niveau : la courbe donne une valeur approchée, et un encadrement par le calcul la confirme. Le sens de variation de x ↦ 2ˣ fait le lien entre l'équation et l'inéquation. Résolution graphique : Les solutions de f(x) = k sont les abscisses des points d'intersection de la courbe de f et de la droite y = k. Comme x ↦ 2ˣ est strictement croissante, il y en a au plus une.
2. Étape 2 : a) On calcule les puissances de 2 :

   f(0) = 1 f(1) = 2 f(2) = 4 f(3) = 8

3. Étape 3 : Sur la courbe, on retrouve bien les points (0 ; 1), (1 ; 2), (2 ; 4) et (3 ; 8).
4. Étape 4 : b) La droite y = 6 coupe la courbe en un seul point, dont on lit l'abscisse :

   x ≈ 2,6

5. Étape 5 : c) Comme f est croissante, 2ˣ ≥ 6 est vraie à droite de la solution, là où la courbe est au-dessus de la droite :

   S ≈ [ 2,6 ; 4 ]

6. Étape 6 : d) On découpe l'exposant et l'on remplace 2⁰,⁵ par √(2) :

   2²,⁵ = 2² × 2⁰,⁵ ≈ 4 × 1,414 = 5,656

7. Étape 7 : On a donc 2²,⁵ ≈ 5,66 < 6 et 2³ = 8 > 6. Comme f est croissante, la solution est comprise entre 2,5 et 3 — ce qui confirme la lecture x ≈ 2,6.
8. Étape 8 : En clair : 2ˣ atteint 6 pour x environ égal à 2,6, et le dépasse ensuite. Le bon côté de la droite : Répondre S ≈ [ 0 ; 2,6 ], c'est garder la partie de la courbe SOUS la droite, où 2ˣ ≤ 6 : par exemple 2¹ = 2, bien inférieur à 6. Pour 2ˣ ≥ 6, on garde les abscisses où la courbe est AU-DESSUS de la droite. Et la lecture x ≈ 2,6 elle-même se contrôle par le calcul, comme au d). Du graphique à l'inéquation : Pour une fonction croissante, les solutions de f(x) ≥ k sont à DROITE de la solution de f(x) = k. Pour une fonction décroissante, elles sont à gauche : regarde toujours le sens de variation avant de conclure.