Élimination d'un médicament

Énoncé

On injecte à un patient une dose de 64 mg d'un médicament. Chaque heure, la quantité présente dans le sang diminue de 25 %, et l'on admet qu'elle évolue au même rythme tout au long de chaque heure. On note Q(t) la quantité (en mg) au bout de t heures, pour t ≥ 0 (pas forcément entier). a) Justifier que Q(t) = 64 × 0,75ᵗ, puis donner le sens de variation de Q. b) Calculer Q(1), Q(2), Q(3) et Q(4). c) Le médicament n'est plus efficace lorsque la quantité est inférieure à 25 mg. Entre quelles heures entières la quantité passe-t-elle sous ce seuil ? d) On donne 0,75⁰,⁵ ≈ 0,866. Préciser le résultat à la demi-heure près.

Indice : Diminuer de 25 % revient à multiplier par 0,75. Pour le d), écris 0,75³,⁵ = 0,75³ × 0,75⁰,⁵.

Correction

1. Étape 1 : Une baisse d'un même pourcentage chaque heure est une décroissance exponentielle. Pour un seuil, on calcule quelques valeurs, on encadre, puis on resserre avec une demi-heure — et c'est la décroissance de Q qui garantit qu'une fois sous le seuil, la quantité y reste. Sens de variation : Pour 0 < a < 1, la fonction t ↦ aᵗ est strictement décroissante sur [0 ; +∞[.
2. Étape 2 : a) Perdre 25 %, c'est garder 75 % : chaque heure, la quantité est multipliée par 0,75. Partant de 64 mg, et puisqu'on admet qu'elle évolue au même rythme tout au long de chaque heure, on la modélise pour tout t ≥ 0, entier ou non, par :

   Q(t) = 64 × 0,75ᵗ

3. Étape 3 : Comme 0 < 0,75 < 1, la fonction Q est strictement décroissante : le médicament s'élimine progressivement.
4. Étape 4 : b) On multiplie par 0,75 d'heure en heure — c'est-à-dire qu'on retire le quart :

   Q(1) = 48 Q(2) = 36 Q(3) = 27 Q(4) = 20,25

5. Étape 5 : c) On compare au seuil de 25 mg : Q(3) = 27 ≥ 25 mais Q(4) = 20,25 < 25. Comme Q est décroissante, la quantité passe sous 25 mg entre t = 3 et t = 4, et elle y reste ensuite.
6. Étape 6 : d) On teste t = 3,5, en découpant l'exposant : 0,75³,⁵ = 0,75³ × 0,75⁰,⁵, donc Q(3,5) = Q(3) × 0,75⁰,⁵, et :

   Q(3,5) = 27 × 0,75⁰,⁵ ≈ 27 × 0,866 ≈ 23,4

7. Étape 7 : Comme Q(3,5) ≈ 23,4 < 25 et Q(3) = 27 ≥ 25, et que Q est décroissante, le seuil est franchi entre 3 h et 3 h 30.
8. Étape 8 : En clair : le médicament reste efficace au moins 3 heures, et cesse de l'être avant 3 h 30. Pour qu'il n'y ait aucune interruption, la prise suivante doit donc avoir lieu au plus tard vers 3 h. On ne retire pas 25 % de la dose initiale chaque heure : Retirer 16 mg (le quart de 64) chaque heure donnerait 64, 48, 32, 16 : une décroissance linéaire, 64 - 16t, qui passerait sous 25 mg dès t ≈ 2,4 — on avancerait la prise d'une demi-heure pour rien. Le pourcentage s'applique à la quantité RESTANTE, qui diminue : on retire 16 mg, puis 12, puis 9… Encadrer, puis couper en deux : Deux valeurs entières encadrent le seuil ; la demi-heure se calcule avec une seule valeur fournie, 0,75⁰,⁵. Et la conclusion s'appuie toujours sur le sens de variation.