Intérêts composés sur une fraction d'année

Énoncé

Un capital de 2 000 € est placé à intérêts composés au taux annuel de 4 %. On suppose qu'il évolue au même rythme tout au long de l'année, et l'on note C(t) sa valeur au bout de t années, pour t ≥ 0 (pas forcément entier). On donne 1,04⁰,⁵ ≈ 1,0198. a) Exprimer C(t) en fonction de t. b) Calculer la valeur du capital au bout de 6 mois, puis au bout d'un an et demi. c) Au bout de 6 mois, les intérêts valent-ils la moitié des intérêts d'une année entière ? Expliquer.

Indice : Six mois, c'est t = 0,5. Pour un an et demi, écris 1,04¹,⁵ = 1,04¹ × 1,04⁰,⁵.

Correction

1. Étape 1 : Des intérêts composés multiplient le capital par 1,04 chaque année : c'est une évolution exponentielle, et la fonction t ↦ 1,04ᵗ donne aussi la valeur au bout d'une fraction d'année. Les propriétés des puissances ramènent tout à la valeur fournie 1,04⁰,⁵. Le modèle : Une grandeur multipliée par a à chaque unité de temps, et qui évolue au même rythme tout au long de chaque unité, vaut f(t) = f(0) × aᵗ pour tout t ≥ 0.
2. Étape 2 : a) Le capital de départ est 2 000 € et le coefficient annuel 1 + 0,04 = 1,04 :

   C(t) = 2 000 × 1,04ᵗ

3. Étape 3 : b) Six mois correspondent à t = 0,5 année, donc C(0,5) = 2 000 × 1,04⁰,⁵, et avec la valeur fournie :

   C(0,5) ≈ 2 000 × 1,0198 = 2 039,60 €

4. Étape 4 : Pour un an et demi, t = 1,5 = 1 + 0,5, et la propriété aˣ⁺ʸ = aˣ × aʸ donne :

   1,04¹,⁵ = 1,04 × 1,04⁰,⁵ ≈ 1,04 × 1,0198 = 1,060 592

5. Étape 5 : D'où la valeur du capital :

   C(1,5) ≈ 2 000 × 1,060 592 ≈ 2 121,18 €

6. Étape 6 : c) Sur une année entière, les intérêts valent 4 % de 2 000 €, soit 80 €, dont la moitié vaut 40 €. Au bout de six mois, les intérêts valent seulement :

   2 039,60 - 2 000 = 39,60 € < 40 €

7. Étape 7 : Les intérêts de six mois sont donc un peu inférieurs à la moitié des intérêts annuels. La raison : le coefficient semestriel s doit vérifier s × s = 1,04, et s ≈ 1,0198 correspond à un taux de 1,98 %, pas 2 %. Avec 2 % par semestre, on obtiendrait 1,02² = 1,0404, soit 4,04 % par an : trop.
8. Étape 8 : En clair : au bout de six mois, le capital vaut environ 2 039,60 €, et environ 2 121,18 € au bout d'un an et demi. Une demi-année ne rapporte pas la moitié des intérêts : Partager le taux en deux (2 % par semestre) donne un peu trop, parce que les intérêts du premier semestre rapportent eux-mêmes des intérêts au second. Le coefficient d'une demi-période est a⁰,⁵, pas 1 + (taux)/2. Découper l'exposant : 1,04¹,⁵ = 1,04¹ × 1,04⁰,⁵ : un exposant décimal se découpe en partie entière et partie décimale. C'est ce qui permet de calculer sans calculatrice avec une seule valeur fournie.