Taux moyen sur trois évolutions différentes

Énoncé

Le prix d'un produit a augmenté de 21 % la première année, de 10 % la deuxième année, puis il est resté stable la troisième année. a) Calculer le coefficient multiplicateur global sur les trois ans, puis le taux d'évolution global. b) On remarque que 1,1³ = 1,331. En déduire le taux d'évolution moyen annuel. c) Un élève calcule la moyenne des trois taux : (21 + 10 + 0)/3 ≈ 10,3 %. Expliquer, sans calculatrice, pourquoi ce taux appliqué trois ans de suite ne redonne pas l'évolution réelle.

Indice : Une année stable correspond au coefficient 1. Le coefficient moyen est le nombre positif dont le cube vaut le coefficient global.

Correction

1. Étape 1 : Trois évolutions différentes se résument par un seul coefficient global, le produit des trois coefficients. Le taux moyen est ensuite le taux constant qui, répété trois fois, redonne ce coefficient : on prend un exposant 1/3. Évolutions successives et taux moyen : Coefficient global K : produit des coefficients. Taux moyen sur n évolutions : 1 + tₘ = K¹/ⁿ.
2. Étape 2 : a) Les coefficients sont 1,21 (hausse de 21 %), 1,1 (hausse de 10 %) et 1 (année stable). On les multiplie :

   K = 1,21 × 1,1 × 1 = 1,331

3. Étape 3 : Le prix a donc augmenté de 33,1 % en trois ans, puisque 1,331 - 1 = 0,331.
4. Étape 4 : b) Le coefficient moyen est le nombre positif dont le cube vaut 1,331. Comme 1,1³ = 1,331 :

   1,331¹/³ = 1,1 ⟹ tₘ = 10 %

5. Étape 5 : Contrôle sur un prix de 100 € : 100 → 121 → 133,10 → 133,10 € avec les vraies évolutions, et 100 × 1,1³ = 133,10 € avec le taux moyen. Les deux chemins arrivent au même prix.
6. Étape 6 : c) Le taux de l'élève correspond à un coefficient d'environ 1,103, plus grand que 1,1. Multiplier trois fois de suite par un nombre plus grand donne un résultat plus grand :

   1,103 > 1,1 ⟹ 1,103³ > 1,1³ = 1,331

7. Étape 7 : Le taux d'environ 10,3 % ferait donc augmenter le prix de plus de 33,1 % : il ne décrit pas l'évolution réelle. Seul le taux moyen de 10 % la reproduit.
8. Étape 8 : En clair : malgré une forte hausse la première année, le prix a augmenté en moyenne de 10 % par an sur trois ans. On ne fait pas la moyenne des pourcentages : La moyenne arithmétique des taux (environ 10,3 %) surestime l'évolution : appliquée trois fois, elle donne (à la calculatrice) environ +34,3 % au lieu de +33,1 %. Les évolutions se multiplient, donc leur « moyenne » se calcule sur les coefficients, avec une racine. Une année stable compte quand même : Le coefficient d'une année sans évolution vaut 1 : il ne change pas le produit, mais il compte dans n. Ici n = 3, pas 2 : avec n = 2, il faudrait un coefficient dont le carré vaut 1,331, donc plus grand que 1,1 (puisque 1,1² = 1,21) — un taux moyen trop élevé.