Taux d'évolution moyen sur deux ans

Énoncé

Le loyer d'un appartement est passé de 625 € à 676 € en deux ans. a) Calculer le coefficient multiplicateur global sur les deux ans. b) En déduire le taux d'évolution moyen annuel. c) Vérifier le résultat en partant de 625 €. d) Un voisin affirme : « Le loyer a augmenté de 8,16 % en deux ans, donc de 4,08 % par an. » A-t-il raison ?

Indice : Le coefficient moyen k vérifie k² = coefficient global. Cherche k parmi des valeurs simples proches de 1, et vérifie en l'élevant au carré.

Correction

1. Étape 1 : Le taux moyen est le taux constant qui, appliqué chaque année, donnerait la même évolution sur deux ans. Comme les évolutions successives se multiplient, on cherche un coefficient dont le carré vaut le coefficient global : c'est un exposant 1/2. Taux d'évolution moyen : Sur n évolutions de coefficient global K, le taux moyen tₘ vérifie (1 + tₘ)ⁿ = K, donc 1 + tₘ = K¹/ⁿ.
2. Étape 2 : a) Le coefficient global est le quotient de la valeur finale par la valeur initiale. Sans calculatrice : 625 × 1,08 = 675, et il reste 1/625 = 0,001 6 :

   K = 676/625 = 1,081 6

3. Étape 3 : Le loyer a donc augmenté de 8,16 % en deux ans. b) Le coefficient moyen k vérifie k² = 1,081 6. Une hausse d'environ 8 % en deux ans suggère d'essayer 1,04 — et l'on vérifie : 1,04² = 1,081 6. Donc :

   k = 1,081 6¹/² = 1,04

4. Étape 4 : On retire 1 pour obtenir le taux :

   tₘ = 1,04 - 1 = 0,04 = 4 %

5. Étape 5 : c) En appliquant +4 % deux fois à partir de 625 € :

   625 × 1,04 = 650 650 × 1,04 = 676

6. Étape 6 : d) Avec +4,08 % par an, le coefficient sur deux ans serait 1,040 8². En développant (1 + 0,040 8)² :

   1,040 8² = 1 + 0,081 6 + 0,040 8² > 1,081 6

7. Étape 7 : Ce coefficient dépasse 1,081 6 : avec ce taux, le loyer dépasserait 676 € (on trouve environ 677,04 €). Le voisin a donc tort : partager le taux global en deux revient à oublier que la seconde hausse s'applique à un loyer déjà augmenté. Le bon taux, 4 %, est un peu plus petit que 4,08 %.
8. Étape 8 : En clair : le loyer a augmenté en moyenne de 4 % par an : c'est le taux constant qui, appliqué deux fois, mène de 625 € à 676 € (+25 € puis +26 €). Les hausses réelles de chaque année ne sont pas connues — seul le résultat sur deux ans l'est. Le taux moyen n'est pas le taux global divisé par n : Diviser 8,16 % par 2 donne 4,08 %, qui conduit à environ 677,04 € au lieu de 676 €. Les évolutions se multiplient : on prend une racine du coefficient global, on ne divise pas le taux global. Toujours vérifier en remontant : Élever le coefficient moyen à la puissance n doit redonner le coefficient global : 1,04² = 1,081 6. C'est le contrôle le plus rapide, et il détecte aussi une erreur de calcul du coefficient global.