Reconnaître une croissance ou une décroissance exponentielle

Énoncé

Pour chaque situation, donner la fonction f qui modélise la grandeur au bout de t unités de temps (t ≥ 0), puis dire si elle est croissante ou décroissante. a) Une population de 2 000 habitants augmente de 3 % par an. b) La quantité d'un médicament dans le sang, 50 mg au départ, diminue de 20 % par heure. c) Une somme de 1 500 € est placée à intérêts composés au taux annuel de 2 %. d) Une voiture achetée 20 000 € perd 15 % de sa valeur chaque année.

Indice : Une hausse de p % correspond au coefficient 1 + p/100, une baisse de p % au coefficient 1 - p/100. Le modèle est f(t) = f(0) × aᵗ.

Correction

1. Étape 1 : Les quatre situations ont la même structure : une évolution d'un même pourcentage à chaque unité de temps, donc une multiplication par un même coefficient. C'est une évolution exponentielle, et il reste à trouver la valeur de départ et le coefficient. Le modèle : Si une grandeur est multipliée par a à chaque unité de temps, et si l'on suppose qu'elle évolue au même rythme tout au long de chaque unité, on la modélise par f(t) = f(0) × aᵗ. Elle est croissante si a > 1, décroissante si 0 < a < 1.
2. Étape 2 : a) Une hausse de 3 % correspond au coefficient 1 + 0,03 = 1,03. Comme 1,03 > 1, la population est croissante :

   f(t) = 2 000 × 1,03ᵗ

3. Étape 3 : b) Une baisse de 20 % correspond au coefficient 1 - 0,2 = 0,8. Comme 0 < 0,8 < 1, la quantité est décroissante :

   f(t) = 50 × 0,8ᵗ

4. Étape 4 : c) Des intérêts composés à 2 % multiplient le capital par 1,02 chaque année. Comme 1,02 > 1, la somme est croissante :

   f(t) = 1 500 × 1,02ᵗ

5. Étape 5 : d) Perdre 15 % correspond au coefficient 1 - 0,15 = 0,85. Comme 0,85 < 1, la valeur est décroissante :

   f(t) = 20 000 × 0,85ᵗ

6. Étape 6 : Contrôle sur la première unité de temps : 2 000 × 1,03 = 2 060 habitants (soit 60 de plus, 3 % de 2 000) et 50 × 0,8 = 40 mg (soit 10 mg de moins, 20 % de 50). Les modèles redonnent bien l'énoncé. Le coefficient n'est pas le taux : Écrire 2 000 × 0,03ᵗ ferait tomber la population à 60 habitants au bout d'un an. Et pour une baisse de 20 %, le coefficient est 0,8, pas 0,2 : on garde 80 % de la quantité. Lire le sens de variation dans le coefficient : Une hausse donne un coefficient plus grand que 1, donc une fonction croissante ; une baisse donne un coefficient entre 0 et 1, donc une fonction décroissante. Le pourcentage, à lui seul, ne suffit pas : c'est le mot « augmente » ou « diminue » qui décide.