L'exposant 1/n sans calculatrice

Énoncé

Calculer, sans calculatrice : a) 49¹/² b) 27¹/³ c) 16¹/⁴ d) 0,729¹/³ e) 0,64¹/²

Indice : a¹/ⁿ est le nombre positif dont la puissance n-ième vaut a. Essaie des valeurs simples et vérifie en élevant à la puissance n.

Correction

1. Étape 1 : Calculer a¹/ⁿ, c'est défaire une puissance n-ième : on cherche le nombre positif qui, élevé à la puissance n, redonne a. On le trouve en essayant des valeurs simples, et l'on vérifie. Exposant 1/n : Pour a > 0 et n entier, n ≥ 1 : (a¹/ⁿ)ⁿ = a¹/ⁿ × ⁿ = a. Donc a¹/ⁿ est le nombre positif dont la puissance n-ième vaut a.
2. Étape 2 : a) On cherche un nombre positif dont le carré vaut 49. Comme 7² = 49 :

   49¹/² = 7

3. Étape 3 : b) On cherche un nombre dont le cube vaut 27. Comme 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 :

   27¹/³ = 3

4. Étape 4 : c) On cherche un nombre dont la puissance quatrième vaut 16. Comme 2² = 4 puis 4² = 16, on a 2⁴ = 16 :

   16¹/⁴ = 2

5. Étape 5 : d) Le nombre 0,729 est un peu plus petit que 1 : on essaie 0,9. On a 0,9² = 0,81, puis 0,81 × 0,9 = 0,729, donc 0,9³ = 0,729 :

   0,729¹/³ = 0,9

6. Étape 6 : e) On cherche un nombre positif dont le carré vaut 0,64. Comme 0,8² = 0,64 :

   0,64¹/² = 0,8

7. Étape 7 : Une surprise dans les d) et e) : 0,9 est PLUS GRAND que 0,729, et 0,8 plus grand que 0,64. Pour un nombre compris entre 0 et 1, la racine est plus grande que le nombre lui-même — c'est normal, puisqu'élever à une puissance un nombre plus petit que 1 le fait diminuer. a¹/ⁿ n'est pas a/n : 27¹/³ = 3, alors que 27/3 = 9 : diviser par n donne un tout autre nombre. Ce n'est pas non plus aⁿ : 27³ = 19 683. L'exposant 1/n défait la puissance, il ne la refait pas. Toujours vérifier en remontant : Élever le résultat à la puissance n doit redonner a : 3³ = 27, 2⁴ = 16, 0,9³ = 0,729. Ce contrôle est le seul qui ne laisse passer aucune erreur.