Comparer des puissances sans calculatrice

Énoncé

Comparer les nombres suivants, sans calculatrice. a) 1,2⁰,⁷ et 1,2⁰,⁹ b) 0,7² et 0,7²,⁵ c) 5⁰,³ et 1 d) 0,4¹,² et 1

Indice : Regarde d'abord si la base est plus grande ou plus petite que 1 : cela donne le sens de variation de x ↦ aˣ. Pour comparer à 1, écris 1 = a⁰.

Correction

1. Étape 1 : Aucun calcul n'est nécessaire : il suffit de connaître le sens de variation de x ↦ aˣ, qui dépend de la base. Une fonction croissante conserve l'ordre, une fonction décroissante l'inverse. Sens de variation : Sur [0 ; +∞[, x ↦ aˣ est strictement croissante si a > 1, et strictement décroissante si 0 < a < 1.
2. Étape 2 : a) La base 1,2 est plus grande que 1, donc x ↦ 1,2ˣ est croissante. Comme 0,7 < 0,9, l'ordre est conservé :

   1,2⁰,⁷ < 1,2⁰,⁹

3. Étape 3 : b) La base 0,7 est comprise entre 0 et 1, donc x ↦ 0,7ˣ est décroissante. Comme 2 < 2,5, l'ordre est inversé :

   0,7² > 0,7²,⁵

4. Étape 4 : c) On écrit 1 = 5⁰. La base 5 est plus grande que 1, donc la fonction est croissante, et 0,3 > 0 :

   5⁰,³ > 5⁰ = 1

5. Étape 5 : d) On écrit 1 = 0,4⁰. La base 0,4 est plus petite que 1, donc la fonction est décroissante, et 1,2 > 0 :

   0,4¹,² < 0,4⁰ = 1

6. Étape 6 : Contrôle du b) avec des exposants entiers voisins : 0,7² = 0,49 et 0,7³ = 0,343. Les puissances de 0,7 diminuent bien quand l'exposant augmente, et 0,7²,⁵ se situe entre les deux. Un exposant plus grand ne donne pas toujours un nombre plus grand : C'est vrai pour une base plus grande que 1, faux pour une base entre 0 et 1. Répondre 0,7² < 0,7²,⁵ « parce que 2 < 2,5 » est l'erreur classique : multiplier par 0,7 fait DIMINUER. Comparer à 1, c'est comparer à l'exposant 0 : Pour a > 1, aˣ ≥ 1 ; pour 0 < a < 1, aˣ ≤ 1. Le signe de « base moins 1 » dit tout de suite de quel côté de 1 on se trouve.