Calculer avec les propriétés algébriques

Énoncé

Sans calculatrice, écrire chaque nombre sous la forme d'une seule puissance, puis le calculer. a) 3¹,² × 3⁰,⁸ b) 5³,⁴5¹,⁴ c) (3⁰,⁵)⁴ d) 2⁰,⁵ × 8⁰,⁵

Indice : Produit de puissances de même base : on additionne les exposants. Quotient : on soustrait. Puissance de puissance : on multiplie. Même exposant : on multiplie les bases.

Correction

1. Étape 1 : Les exposants sont décimaux, mais les règles sont celles des puissances entières vues en Seconde : on les admet pour tous les exposants positifs. Le but est de regrouper pour tomber sur un exposant entier, que l'on sait calculer de tête. Propriétés admises : Pour a > 0, b > 0, x ≥ 0, y ≥ 0 : aˣ × aʸ = aˣ⁺ʸ ; (aˣ)/(aʸ) = aˣ⁻ʸ si x ≥ y ; (aˣ)ʸ = aˣʸ ; aˣ × bˣ = (ab)ˣ
2. Étape 2 : a) Un produit de deux puissances de même base 3 : on additionne les exposants.

   3¹,² × 3⁰,⁸ = 3¹,² ⁺ ⁰,⁸ = 3² = 9

3. Étape 3 : b) Un quotient de puissances de même base : on soustrait, ce qui est permis puisque 3,4 ≥ 1,4.

   5³,⁴5¹,⁴ = 5³,⁴ ⁻ ¹,⁴ = 5² = 25

4. Étape 4 : c) Une puissance de puissance : on multiplie les exposants.

   (3⁰,⁵)⁴ = 3⁰,⁵ × ⁴ = 3² = 9

5. Étape 5 : d) Les bases sont différentes, mais l'exposant est le même : on regroupe les bases, car aˣ × bˣ = (ab)ˣ.

   2⁰,⁵ × 8⁰,⁵ = (2 × 8)⁰,⁵ = 16⁰,⁵ = √(16) = 4

6. Étape 6 : Contrôle du d) par une autre voie : 8 = 2³, donc 8⁰,⁵ = (2³)⁰,⁵ = 2¹,⁵, et 2⁰,⁵ × 2¹,⁵ = 2² = 4. Les deux chemins donnent le même résultat. Dans un produit, on ADDITIONNE les exposants : Écrire 3¹,² × 3⁰,⁸ = 3¹,² × ⁰,⁸ = 3⁰,⁹⁶ est faux : on ne multiplie les exposants que pour une puissance de puissance. Autre erreur fréquente : multiplier aussi les bases, et écrire 9² = 81. La base reste 3 : le résultat est 9. Tester la règle sur des entiers : En cas de doute, essaie avec des exposants entiers : 2³ × 2¹ = 8 × 2 = 16 = 2⁴. On a bien additionné 3 + 1. Ce test prend dix secondes et tranche toujours.