Du nuage de points à la courbe

Énoncé

Une colonie de bactéries est multipliée par 9 chaque heure. Au départ, elle compte 100 bactéries. On note u(n) le nombre de bactéries au bout de n heures. a) Calculer u(1) et u(2). Quelle est la nature de la suite u ? b) On veut estimer le nombre de bactéries au bout d'une demi-heure. Placer le point intermédiaire entre les points (0 ; 100) et (1 ; 900) du nuage : son abscisse est la moyenne arithmétique des abscisses, son ordonnée la moyenne géométrique des ordonnées. c) On admet que le nombre de bactéries au bout de t heures (t ≥ 0) est f(t) = 100 × 9ᵗ. En déduire la valeur de 9⁰,⁵, puis le nombre de bactéries au bout d'une heure et demie.

Indice : La moyenne géométrique de y₁ et y₂ est √(y₁ × y₂). Pour 9¹,⁵, écris 1,5 = 1 + 0,5.

Correction

1. Étape 1 : La suite ne donne le nombre de bactéries qu'aux heures entières. Pour « remplir les trous », on place des points intermédiaires — et la bonne moyenne pour l'ordonnée est la moyenne géométrique, parce qu'on veut multiplier par le même nombre pendant chaque demi-heure. Point intermédiaire : Entre deux points du nuage (x₁ ; y₁) et (x₂ ; y₂) : abscisse (x₁ + x₂)/2, ordonnée √(y₁ × y₂).
2. Étape 2 : a) Chaque heure, on multiplie par 9 :

   u(1) = 100 × 9 = 900 u(2) = 900 × 9 = 8 100

3. Étape 3 : On passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par 9 : la suite u est géométrique, de raison 9 et de premier terme u(0) = 100. Donc :

   u(n) = 100 × 9ⁿ

4. Étape 4 : b) L'abscisse du point intermédiaire est la moyenne arithmétique de 0 et 1 ; son ordonnée, la moyenne géométrique de 100 et 900 :

   (0 + 1)/2 = 0,5 √(100 × 900) = √(90 000) = 300

5. Étape 5 : Pourquoi c'est cohérent : de 100 à 300, on multiplie par 3 ; de 300 à 900, encore par 3. Le coefficient est bien le même sur chaque demi-heure, et 3 × 3 = 9 redonne le coefficient horaire.
6. Étape 6 : c) Le point intermédiaire est sur la courbe, donc f(0,5) = 300. Comme f(0,5) = 100 × 9⁰,⁵, on divise par 100 :

   100 × 9⁰,⁵ = 300 ⟺ 9⁰,⁵ = 3

7. Étape 7 : Contrôle : 3² = 9, donc 3 est bien le nombre positif dont le carré vaut 9. Pour une heure et demie, on écrit 1,5 = 1 + 0,5 et l'on utilise la propriété aˣ⁺ʸ = aˣ × aʸ :

   9¹,⁵ = 9¹ × 9⁰,⁵ = 9 × 3 = 27 f(1,5) = 100 × 27 = 2 700

8. Étape 8 : En clair : environ 300 bactéries au bout d'une demi-heure, et 2 700 au bout d'une heure et demie. Second contrôle : la moyenne géométrique de u(1) = 900 et u(2) = 8 100 vaut √(7 290 000) = 2 700 — on retrouve la même valeur par l'autre méthode. La moyenne arithmétique donnerait 500 : (100 + 900)/2 = 500 : on multiplierait par 5 la première demi-heure, puis par 1,8 la seconde. Ce n'est plus une croissance au même rythme, donc plus une évolution exponentielle. Le résultat 500 surestime nettement le nombre de bactéries. L'exposant 0,5 est une racine carrée : Comme (a⁰,⁵)² = a¹ = a, on a toujours a⁰,⁵ = √(a). Ici 9⁰,⁵ = √(9) = 3 : retiens ce réflexe, il revient dans tout le chapitre.