Résoudre une inéquation avec expression complexe

Énoncé

Résoudre l'inéquation e^{x+2}{e^x} e^3.

Indice : Simplifie d'abord le quotient, puis compare les exposants.

Correction

1. Étape 1 : Un exercice qui réserve une surprise : après simplification, l'inconnue disparaît. Ce n'est pas une erreur de calcul — c'est le résultat, et il faut savoir quoi en faire.
2. Étape 2 : On regroupe le membre de gauche en soustrayant les exposants :

   e^{x+2}{e^x} = e^{(x+2)-x} = e^{2}

3. Étape 3 : Les deux x se sont annulés. L'inéquation devient :

   e^{2} e^{3}

4. Étape 4 : On compare les exposants, le sens étant conservé :

   2 3

5. Étape 5 : Cette inégalité est fausse, et elle ne dépend d'aucun x. Elle est donc fausse quelle que soit la valeur de x : aucun nombre ne peut convenir.

   S =

6. Étape 6 : Contrôle numérique. e^2 7{,}39 et e^3 20{,}09 : on a bien 7{,}39 < 20{,}09, donc l'inéquation n'est vérifiée pour aucun x. Le membre de gauche vaut toujours 7{,}39, quelle que soit la valeur choisie — c'est ce que dit la disparition du x. Une inconnue qui disparaît donne TOUJOURS l'un de deux cas : On aboutit à une inégalité entre nombres, et il n'y a que deux issues : fausse (2 3) S = , aucune solution vraie (3 2) S = R, tous les réels conviennent Ce n'est jamais « je me suis trompé » : c'est une réponse à part entière. Le réflexe quand l'inconnue s'en va : Relire l'énoncé : ici e^{x+2}{e^x} vaut e^2 pour tout x, c'est une expression CONSTANTE. Une fois qu'on l'a vu, la conclusion est évidente et l'on peut répondre sans hésiter — au lieu de refaire trois fois le calcul en cherchant une faute qui n'existe pas.