Résoudre une équation avec paramètre

Énoncé

Déterminer la valeur du paramètre m pour que l'équation e^{2x} = e^{x+m} admette la solution x = 1.

Indice : Remplace x par 1 dans l'équation, puis simplifie et résous pour trouver m.

Correction

1. Étape 1 : L'énoncé est retourné : au lieu de chercher x, il donne la solution et demande le paramètre. La méthode devient donc : remplacer x par la valeur annoncée, ce qui laisse une équation en m.
2. Étape 2 : On remplace x par 1 dans les deux membres :

   e^{2 1} = e^{1+m}

3. Étape 3 : Soit :

   e^{2} = e^{1+m}

4. Étape 4 : On compare les exposants, puisque deux exponentielles égales ont le même exposant :

   2 = 1 + m

5. Étape 5 : On résout :

   m = 1

6. Étape 6 : Vérification. Pour m = 1, l'équation devient e^{2x} = e^{x+1}, donc 2x = x+1, donc x = 1. C'est bien la solution demandée. Ne pas résoudre l'équation en x : La tentation est de traiter e^{2x} = e^{x+m} comme d'habitude, ce qui donne x = m. Ce n'est pas faux, mais cela ne répond pas : on cherche m, et l'information « x = 1 » n'a pas été utilisée. Il faut alors ajouter x = 1, d'où m = 1 — deux chemins, même réponse, mais le second oublie souvent la dernière ligne. Repérer ce qui est donné et ce qui est cherché : Avant de calculer, écrire : « on me donne x = 1, je cherche m ». Cela évite de résoudre par réflexe l'équation qu'on a l'habitude de voir, plutôt que celle qui est posée.