Résoudre une équation avec paramètre

Énoncé

Déterminer la valeur du paramètre m pour que l'équation e^{2x} = e^{x+m} admette la solution x = 1.

Indice : Remplace x par 1 dans l'équation, puis simplifie et résous pour trouver m.

Correction

1. Étape 1 : Si x = 1 est solution, alors en remplaçant x par 1 dans l'équation :

   e^{2 1} = e^{1+m}

2. Étape 2 : On simplifie :

   e^2 = e^{1+m}

3. Étape 3 : Comme la fonction exponentielle est injective :

   2 = 1 + m

4. Étape 4 : On résout :

   m = 2 - 1 = 1

5. Étape 5 : Pour m = 1, l'équation e^{2x} = e^{x+1} admet bien la solution x = 1 (car e^2 = e^{1+1} = e^2).