Problème d'application : croissance exponentielle

Énoncé

Une population de bactéries double toutes les heures. À l'instant t = 0, il y a N_0 = 100 bactéries. a) Exprimer le nombre de bactéries N(t) en fonction du temps t (en heures) sous la forme N(t) = N_0 e^{kt}. b) Déterminer la valeur de k (arrondir à 10^{-3} près). c) Combien y aura-t-il de bactéries après 3 heures ?

Indice : Si la population double en 1 heure, alors N(1) = 2N_0. Utilise cette condition pour trouver k.

Correction

  1. Étape 1 : Un problème concret, en trois temps. Le point délicat est le b) : on cherchera un exposant k tel que e^k = 2, et il ne se lit sur aucune table — on l'encadrera à la calculatrice. L'information cachée de l'énoncé est « double toutes les heures » : c'est elle qui donnera k.
  2. Étape 2 : a) L'énoncé impose la forme et donne N_0 = 100 :

    N(t) = 100\,e^{kt}

  3. Étape 3 : b) « Doubler en une heure » se traduit par N(1) = 200, ce qui donne une équation en k :

    100\,e^{k} = 200 e^{k} = 2

  4. Étape 4 : On cherche k par encadrement, en essayant des valeurs à la calculatrice :

    e^{0{,}69} 1{,}994 e^{0{,}70} 2{,}014

  5. Étape 5 : 2 est compris entre ces deux valeurs, donc k est compris entre 0{,}69 et 0{,}70. On affine :

    e^{0{,}693} 1{,}9997 k 0{,}693

  6. Étape 6 : c) On remplace t par 3 :

    N(3) = 100\,e^{0{,}693 3} = 100\,e^{2{,}079} 800

  7. Étape 7 : Le contrôle, et il est EXACT. La population double chaque heure : après 1 h il y en a 200, après 2 h 400, après 3 h 800. Le calcul par doublements donne donc la réponse sans aucune exponentielle :

    N(3) = 100 2^3 = 100 8 = 800

  8. Étape 8 : Les deux voies concordent. Le petit écart de la voie exponentielle (799{,}6 au lieu de 800) vient uniquement de l'arrondi de k à trois décimales. k n'est pas 2, et ce n'est pas non plus le taux de doublement : On a e^k = 2, donc k 0{,}693 — pas 2. Confondre les deux donnerait N(3) = 100\,e^{6} 40\,343 bactéries au lieu de 800. Le contrôle par doublements l'attrape immédiatement. Le contrôle par doublements vaut pour tous ces problèmes : Dès qu'une quantité double (ou triple, ou est divisée par deux) à intervalle régulier, on peut toujours vérifier en comptant à la main. Après n périodes, c'est N_0 2^n — un calcul exact, à opposer au résultat approché de la formule.