Problème d'application : croissance exponentielle

Énoncé

Une population de bactéries double toutes les heures. À l'instant t = 0, il y a N_0 = 100 bactéries. a) Exprimer le nombre de bactéries N(t) en fonction du temps t (en heures) sous la forme N(t) = N_0 e^{kt}. b) Déterminer la valeur de k (arrondir à 10^{-3} près). c) Combien y aura-t-il de bactéries après 3 heures ?

Indice : Si la population double en 1 heure, alors N(1) = 2N_0. Utilise cette condition pour trouver k.

Correction

1. Étape 1 : **a)** On cherche N(t) = N_0 e^{kt} avec N_0 = 100.

   N(t) = 100 e^{kt}

2. Étape 2 : **b)** Si la population double en 1 heure, alors N(1) = 2N_0 = 200.
3. Étape 3 : On a donc :

   N(1) = 100 e^{k 1} = 200

4. Étape 4 : On simplifie :

   100e^k = 200 e^k = 2

5. Étape 5 : En utilisant la fonction logarithme népérien (ou en comparant avec e^{ 2} = 2) :

   k = 2 0{,}693

6. Étape 6 : **c)** Après 3 heures :

   N(3) = 100 e^{0{,}693 3} = 100 e^{2{,}079} 100 8 = 800

7. Étape 7 : Il y aura environ 800 bactéries après 3 heures.