Résoudre une inéquation avec puissance d'exponentielle

Énoncé

Résoudre l'inéquation (e^x)^2 > e^6.

Indice : Simplifie d'abord (e^x)^2 en utilisant (e^a)^b = e^{ab}, puis compare les exposants.

Correction

1. Étape 1 : Une inéquation avec une puissance de puissance. Deux endroits demandent de l'attention : le regroupement, puis la division finale — mais ici le diviseur est positif, donc le sens ne changera pas.
2. Étape 2 : On regroupe en multipliant les exposants :

   (e^x)^2 = e^{2x}

3. Étape 3 : L'inéquation devient :

   e^{2x} > e^6

4. Étape 4 : On compare les exposants, en conservant le sens car la fonction est strictement croissante :

   2x > 6

5. Étape 5 : On divise par 2. Comme 2 est positif, le sens de l'inégalité ne change pas :

   x > 3 S = ]\,3\ ;\ +\,[

6. Étape 6 : Contrôle sur deux valeurs. Pour x = 4 (dans S) : (e^4)^2 = e^8 2981 > e^6 403. Vrai. Pour x = 2 (hors de S) : e^4 54{,}6 < 403. Faux. L'ensemble est bien orienté. Le sens ne change QUE si l'on multiplie ou divise par un nombre négatif : Ici on divise par 2 > 0 : le sens est conservé. À l'exercice 27009, on multipliait par -1 : le sens changeait. C'est le SIGNE du nombre qui décide, rien d'autre — pas la présence d'un - dans l'énoncé. Se poser une seule question à chaque étape : « Est-ce que je multiplie ou divise par un négatif ? » Non on ne touche à rien. Oui on retourne le symbole. C'est la seule règle à retenir sur les inéquations.