Résoudre une équation avec plusieurs exponentielles

Énoncé

Résoudre l'équation e^{2x+1} = e^{x-3} e^5.

Indice : Simplifie d'abord le membre de droite, puis compare les exposants.

Correction

1. Étape 1 : Le membre de droite contient un produit : on le regroupe d'abord. Ensuite l'inconnue apparaîtra des deux côtés de l'équation, ce qui est nouveau — il faudra la rassembler.
2. Étape 2 : On regroupe la droite en additionnant les exposants :

   e^{x-3} e^5 = e^{(x-3)+5} = e^{x+2}

3. Étape 3 : L'équation s'écrit alors avec une seule exponentielle de chaque côté :

   e^{2x+1} = e^{x+2}

4. Étape 4 : On compare les exposants, comme la fonction ne prend jamais deux fois la même valeur :

   2x + 1 = x + 2

5. Étape 5 : On rassemble les x à gauche et les nombres à droite :

   2x - x = 2 - 1 x = 1

6. Étape 6 : Vérification, qui contrôle les trois étapes d'un coup. Pour x = 1 : à gauche e^{2+1} = e^3, à droite e^{1-3} e^5 = e^{-2} e^5 = e^3. Les deux membres coïncident.

   S = \{1\}

7. Étape 7 : Regrouper AVANT de comparer, jamais l'inverse : Comparer d'abord donnerait 2x+1 = x-3 en ignorant le e^5, donc x = -4 — une réponse fausse obtenue sans le moindre signe d'alerte. La comparaison des exposants n'est valable que si chaque membre est une seule exponentielle. Le test qui rattrape tout : Remplacer la valeur trouvée dans l'équation de DÉPART, jamais dans une ligne intermédiaire. Avec x = -4 on obtiendrait e^{-7} à gauche et e^{-2} à droite : l'erreur saute aux yeux.