Simplifier une expression complexe

Énoncé

Simplifier l'expression e^{2x e^3}{(e^x)^2}.

Indice : Utilise toutes les propriétés : produit, quotient et puissance d'exponentielles.

Correction

1. Étape 1 : Trois règles interviennent ici, et la méthode est de traiter le numérateur et le dénominateur séparément avant de les rassembler. Vouloir tout faire d'un coup est le meilleur moyen de perdre un exposant.
2. Étape 2 : Le numérateur est un produit, donc on additionne :

   e^{2x} e^3 = e^{2x+3}

3. Étape 3 : Le dénominateur est une puissance de puissance, donc on multiplie :

   (e^x)^2 = e^{x 2} = e^{2x}

4. Étape 4 : On rassemble. L'expression est maintenant un simple quotient :

   e^{2x+3}{e^{2x}}

5. Étape 5 : On soustrait les exposants, en pensant aux parenthèses :

   e^{(2x+3)-2x} = e^{3}

6. Étape 6 : Le résultat ne dépend plus de x, et ce n'est pas un hasard : le 2x du numérateur et celui du dénominateur se compensent exactement. L'expression vaut e^3 20{,}1 pour toute valeur de x. (e^x)^2 n'est pas e^{x^2} : La règle multiplie les exposants ENTRE EUX : (e^x)^2 = e^{2x}. Écrire e^{x^2} donnerait une expression qui dépend encore de x à la fin, et le contrôle ci-dessous le montrerait. Le contrôle qui vaut pour toute simplification littérale : Remplacer x par une valeur simple, ici x = 0 : l'expression de départ vaut 1 e^3{1} = e^3. Même résultat : la simplification est bonne. Refaire avec x = 1 pour être sûr.