Résoudre une inéquation avec $e^{-x}$

Énoncé

Résoudre l'inéquation e^{-x} e^2.

Indice : Compare les exposants en n'oubliant pas de changer le sens de l'inégalité si nécessaire.

Correction

1. Étape 1 : C'est l'exercice où se cache le piège du chapitre. On compare les exposants sans changer le sens — comme toujours — mais l'équation obtenue contient -x, et c'est en résolvant celle-là que le sens s'inverse.
2. Étape 2 : On compare les exposants. Le sens est conservé, car l'exponentielle est strictement croissante :

   e^{-x} e^2 -x 2

3. Étape 3 : On résout. Multiplier une inégalité par -1 inverse son sens :

   -x 2 x -2

4. Étape 4 : D'où l'ensemble des solutions, avec un crochet fermé puisque l'inégalité est large :

   S = [\,-2\ ;\ +\,[

5. Étape 5 : Contrôle, indispensable ici. Prenons x = 0, qui est dans S : e^0 = 1 e^2 7{,}4. Vrai. Prenons x = -3, qui n'y est pas : e^{3} 20{,}1 7{,}4 ? Faux. L'ensemble est donc bien orienté. Deux étapes, un seul changement de sens : À l'étape 2 (passage aux exposants) : le sens ne change PAS. À l'étape 3 (multiplication par -1) : le sens change. Confondre les deux donne x -2, soit exactement l'ensemble complémentaire — la réponse est alors fausse partout. Le contrôle par une valeur simple : x = 0 est presque toujours facile à tester, et il tranche ici immédiatement. Dès qu'une inéquation contient un -x, faire ce test avant d'écrire S.