Résoudre une équation avec quotient d'exponentielles

Énoncé

Résoudre l'équation e^{x+1}{e^2} = e^3.

Indice : Simplifie d'abord le quotient en utilisant e^a{e^b} = e^{a-b}, puis compare les exposants.

Correction

1. Étape 1 : Un quotient cette fois : on le regroupe en soustrayant les exposants, puis on compare comme d'habitude.
2. Étape 2 : On regroupe. Attention à mettre l'exposant du numérateur entre parenthèses, car c'est une somme :

   e^{x+1}{e^2} = e^{(x+1)-2} = e^{x-1}

3. Étape 3 : L'équation devient :

   e^{x-1} = e^3

4. Étape 4 : On compare les exposants, puis on résout :

   x - 1 = 3 x = 4

5. Étape 5 : Vérification : pour x = 4, le membre de gauche vaut e^5{e^2} = e^3. C'est bien le membre de droite.

   S = \{4\}

6. Étape 6 : Les parenthèses ne sont pas facultatives : Écrire e^{x+1-2} sans parenthèses fonctionne ici, mais la même négligence donne une faute dès que le dénominateur est une somme. Pour e^{x}{e^{x-3}}, oublier les parenthèses donne e^{x-x-3} = e^{-3} au lieu de e^{x-(x-3)} = e^{3}. Le signe moins porte sur TOUT l'exposant du dénominateur. Écrire la parenthèse systématiquement : e^a{e^b} = e^{(a)-(b)}, puis développer. Deux parenthèses écrites d'avance coûtent moins cher qu'une erreur de signe.