Résoudre une inéquation exponentielle

Énoncé

Résoudre l'inéquation e^x > e^3.

Indice : Comme la fonction exponentielle est strictement croissante, l'inéquation e^a > e^b équivaut à a > b.

Correction

1. Étape 1 : Pour une inéquation, la propriété est la même qu'au 27005 — la fonction conserve l'ordre — donc le sens de l'inégalité ne change pas en passant aux exposants.
2. Étape 2 : On compare directement les exposants, en gardant le > :

   e^x > e^3 x > 3

3. Étape 3 : L'ensemble des solutions s'écrit avec un crochet ouvert, car l'inégalité est stricte :

   S = ]\,3\ ;\ +\,[

4. Étape 4 : Contrôle sur une valeur. Prenons x = 4, qui est dans S : e^4 54{,}6 et e^3 20{,}1, donc l'inégalité est bien vérifiée. Prenons x = 2, qui n'y est pas : e^2 7{,}4 < 20{,}1, l'inégalité est fausse. Les deux essais confirment. Le crochet doit correspondre à l'inégalité : > strict crochet ouvert ]\,3. : la valeur 3 est EXCLUE. crochet fermé [\,3. : elle est incluse. Une erreur de crochet est une erreur de réponse. Tester une valeur de chaque côté : Une valeur DANS S doit vérifier l'inéquation, une valeur HORS de S ne doit pas la vérifier. Deux essais à la calculatrice, et une inversion de sens se voit immédiatement.