Résoudre une équation avec produit d'exponentielles

Énoncé

Résoudre l'équation e^{2x} e^3 = e^7.

Indice : Simplifie d'abord le membre de gauche en utilisant e^a e^b = e^{a+b}, puis compare les exposants.

Correction

1. Étape 1 : L'équation ne se présente pas encore sous la forme e^{} = e^{} : il y a un produit à gauche. On l'y ramène d'abord, puis on compare les exposants.
2. Étape 2 : On regroupe le membre de gauche en additionnant les exposants :

   e^{2x} e^3 = e^{2x+3}

3. Étape 3 : L'équation prend la forme voulue :

   e^{2x+3} = e^7

4. Étape 4 : On compare les exposants, puisque deux exponentielles égales ont forcément le même exposant :

   2x + 3 = 7

5. Étape 5 : On résout cette équation du premier degré :

   2x = 4 x = 2

6. Étape 6 : Vérification, indispensable ici puisqu'il y a eu deux transformations : pour x = 2, le membre de gauche vaut e^4 e^3 = e^7. C'est bien le membre de droite.

   S = \{2\}

7. Étape 7 : Ne pas oublier le e^3 dans le regroupement : Écrire directement 2x = 7 revient à supprimer le facteur e^3. On trouverait x = 3{,}5, et la vérification donnerait e^7 e^3 = e^{10} e^7. C'est elle qui rattrape l'oubli. Toujours dans cet ordre : 1. regrouper en une seule exponentielle de chaque côté · 2. comparer les exposants · 3. résoudre l'équation obtenue · 4. vérifier. Les quatre équations suivantes du chapitre suivent exactement ce plan.