Résoudre une équation avec produit d'exponentielles

Énoncé

Résoudre l'équation e^{2x} e^3 = e^7.

Indice : Simplifie d'abord le membre de gauche en utilisant e^a e^b = e^{a+b}, puis compare les exposants.

Correction

1. Étape 1 : On simplifie le membre de gauche en utilisant la propriété e^a e^b = e^{a+b} :

   e^{2x} e^3 = e^{2x+3}

2. Étape 2 : L'équation devient :

   e^{2x+3} = e^7

3. Étape 3 : Comme la fonction exponentielle est injective, on compare les exposants :

   2x + 3 = 7

4. Étape 4 : On résout cette équation du premier degré :

   2x = 7 - 3 = 4 x = 2

5. Étape 5 : La solution est x = 2.

   S = \{2\}