Comparer des valeurs exponentielles

Énoncé

Comparer les nombres suivants (sans calculatrice) : a) e^2 et e^3 b) e^{-1} et e^1 c) e^0 et e^{-2}

Indice : La fonction exponentielle est strictement croissante : si a < b, alors e^a < e^b.

Correction

1. Étape 1 : Aucune calculatrice n'est nécessaire : la fonction exponentielle conserve l'ordre. Le plus grand exposant donne toujours le plus grand résultat. La règle de comparaison : a < b équivaut à e^a < e^b On compare donc les exposants, qui sont des nombres simples.
2. Étape 2 : a) Comme 2 < 3 :

   e^2 < e^3

3. Étape 3 : b) Comme -1 < 1 :

   e^{-1} < e^1

4. Étape 4 : c) Comme -2 < 0 :

   e^{-2} < e^0 = 1

5. Étape 5 : Le c) donne un repère utile : tout e^{exposant négatif} est plus petit que 1, et tout e^{exposant positif} est plus grand que 1. Le signe de l'exposant se lit donc directement sur le résultat. Un exposant plus petit ne veut pas dire un résultat négatif : e^{-2} < 1, mais e^{-2} 0{,}14 reste positif. L'exponentielle ne prend jamais de valeur négative ni nulle, quel que soit l'exposant. Sa courbe est entièrement au-dessus de l'axe des abscisses. Contrôle à la calculatrice, une seule fois : e^{-1} 0{,}37, e^1 2{,}72, e^2 7{,}39, e^3 20{,}09. Ces quatre valeurs confirment d'un coup les trois comparaisons — et montrent à quelle vitesse l'exponentielle grandit.